6. Решите уравнение: \( \sqrt{x - 2} = x - 4 \)

Решение:

Для решения уравнения \( \sqrt{x - 2} = x - 4 \) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Наложим ограничения:
• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( x - 2 \ge 0 \) → \( x \ge 2 \).
• Правая часть уравнения (значение корня) также должна быть неотрицательной: \( x - 4 \ge 0 \) → \( x \ge 4 \).
• Объединяя оба условия, получаем \( x \ge 4 \).
2. Возведем обе части уравнения в квадрат:
• \( (\sqrt{x - 2})^2 = (x - 4)^2 \)
• \( x - 2 = x^2 - 8x + 16 \)
3. Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
• \( x^2 - 8x - x + 16 + 2 = 0 \)
• \( x^2 - 9x + 18 = 0 \)
4. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
• \( D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 \)
5. Найдем корни уравнения:
• \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)
• \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
6. Проверим полученные корни на соответствие ограничениям (\( x \ge 4 \)):
• Корень \( x_1 = 6 \) удовлетворяет условию \( x \ge 4 \).
• Корень \( x_2 = 3 \) не удовлетворяет условию \( x \ge 4 \), поэтому он является посторонним.

Ответ: \( x = 6 \).