6. Решите неравенство log_0,5 (x² - 3x) ≥ log_0,5 (2x - 4), учитывая область определения и свойство монотонности логарифмической функции.

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \log_{0.5}(x^2 - 3x) \ge \log_{0.5}(2x - 4) \), учитываем область определения и свойство монотонности логарифмической функции.

1. Область определения (ОДЗ):

Аргументы логарифмов должны быть положительными:

1. \( x^2 - 3x > 0 \)
\( x(x - 3) > 0 \) Корни: \( x = 0 \) и \( x = 3 \). Парабола ветвями вверх, значит, \( x < 0 \) или \( x > 3 \).
2. \( 2x - 4 > 0 \)
\( 2x > 4 \) \( x > 2 \).

Объединяя условия \( (x < 0 \text{ или } x > 3) \) и \( x > 2 \), получаем ОДЗ: \( x > 3 \).

2. Решение неравенства:

Основание логарифма \( 0.5 \) меньше 1, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмического неравенства к алгебраическому, знак неравенства аргументов меняется на противоположный:

\( x^2 - 3x \le 2x - 4 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( x^2 - 3x - 2x + 4 \le 0 \)

\( x^2 - 5x + 4 \le 0 \)

Найдем корни квадратного трёхчлена \( x^2 - 5x + 4 = 0 \):

Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \).

Корни: \( x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4 \).

Парабола \( y = x^2 - 5x + 4 \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( x^2 - 5x + 4 \le 0 \) выполняется при \( 1 \le x \le 4 \).

3. Пересечение с ОДЗ:

Мы получили интервал \( [1, 4] \) и ОДЗ \( x > 3 \).

Пересечение этих интервалов:

\( (1 \le x \le 4) \cap (x > 3) = 3 < x \le 4 \).

Таким образом, решением неравенства является интервал \( (3, 4] \).

Ответ: \( (3, 4] \).