6. При каких значениях а и в система имеет решение x = 3, y = -1?

Задание 6. Поиск значений а и в

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} ax + by = 2 \\ 5x + by = 4 + a \end{cases} \)

Известно, что система имеет решение \( x = 3 \) и \( y = -1 \). Подставим эти значения в уравнения:

Первое уравнение:

\( a(3) + b(-1) = 2 \)

\( 3a - b = 2 \) (Уравнение 1)

Второе уравнение:

\( 5(3) + b(-1) = 4 + a \)

\( 15 - b = 4 + a \)

Перенесем члены так, чтобы получить систему относительно a и b:

\( 15 - 4 = a + b \)

\( 11 = a + b \) (Уравнение 2)

Теперь у нас есть система уравнений с двумя неизвестными a и b:

\( \begin{cases} 3a - b = 2 \\ a + b = 11 \end{cases} \)

Метод сложения:

1. Сложим оба уравнения, чтобы избавиться от b:
   \( (3a - b) + (a + b) = 2 + 11 \)
   \( 4a = 13 \)
   \( a = \frac{13}{4} \)
2. Подставим найденное значение a во второе уравнение, чтобы найти b:
   \( \frac{13}{4} + b = 11 \)
   \( b = 11 - \frac{13}{4} \)
   \( b = \frac{44}{4} - \frac{13}{4} \)
   \( b = \frac{31}{4} \)

Ответ: \( a = \frac{13}{4}, b = \frac{31}{4} \).