6. Постройте на координатной плоскости а) точки А, В, С, D, если А(0;-4), B(2;6), C(5; 1); D(-4; -2). б) Определите координату точки пересечения прямых АВ и CD.

Задание 6. Построение точек и нахождение точки пересечения прямых

а) Построение точек на координатной плоскости:

Чтобы построить точки, нужно от начала координат (точка 0,0) отложить значение по оси X (первое число в скобках), а затем от полученной точки отложить значение по оси Y (второе число в скобках).

• Точка A(0;-4): От начала координат (0) двигаемся по оси X на 0. Затем от оси X двигаемся вниз по оси Y на 4 единицы.
• Точка B(2;6): От начала координат двигаемся по оси X на 2 единицы вправо. Затем от этой точки двигаемся вверх по оси Y на 6 единиц.
• Точка C(5;1): От начала координат двигаемся по оси X на 5 единиц вправо. Затем от этой точки двигаемся вверх по оси Y на 1 единицу.
• Точка D(-4;-2): От начала координат двигаемся по оси X на 4 единицы влево. Затем от этой точки двигаемся вниз по оси Y на 2 единицы.

(Для наглядности, представьте себе перекресток: первая цифра - сколько пройти по дороге на восток/запад, вторая - сколько по дороге на север/юг.)

б) Определение координаты точки пересечения прямых AB и CD:

Чтобы найти точку пересечения двух прямых, нам нужно найти уравнение каждой прямой, а затем решить систему из этих двух уравнений.

1. Уравнение прямой AB:

Общий вид уравнения прямой: \( y = kx + b \)

Для нахождения \( k \) (угловой коэффициент) используем формулу: \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

Для точек A(0;-4) и B(2;6):

\( k_{AB} = \frac{6 - (-4)}{2 - 0} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

Теперь подставим координаты одной из точек (например, A(0;-4)) в уравнение \( y = 5x + b \) чтобы найти \( b \) (свободный член, или ординату точки пересечения с осью Y):

\( -4 = 5 \cdot 0 + b \)

\( -4 = 0 + b \)

\( b = -4 \)

Итак, уравнение прямой AB: \( y = 5x - 4 \)

2. Уравнение прямой CD:

Для точек C(5;1) и D(-4;-2):

\( k_{CD} = \frac{-2 - 1}{-4 - 5} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3} \)

Теперь подставим координаты одной из точек (например, C(5;1)) в уравнение \( y = \frac{1}{3}x + b \) чтобы найти \( b \):

\( 1 = \frac{1}{3} \cdot 5 + b \)

\( 1 = \frac{5}{3} + b \)

\( b = 1 - \frac{5}{3} = \frac{3}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{2}{3} \)

Итак, уравнение прямой CD: \( y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \)

3. Решение системы уравнений:

Теперь приравняем уравнения двух прямых, чтобы найти точку их пересечения:

\[ 5x - 4 = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \]

Умножим всё уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей:

\[ 3(5x - 4) = 3(\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}) \]

\[ 15x - 12 = x - 2 \]

Перенесём \( x \) в одну сторону, а числа — в другую:

\[ 15x - x = 12 - 2 \]

\[ 14x = 10 \]

Найдем \( x \):

\[ x = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \]

Теперь найдем \( y \), подставив \( x = \frac{5}{7} \) в любое из уравнений прямых. Возьмем уравнение прямой AB: \( y = 5x - 4 \)

\[ y = 5 \cdot \frac{5}{7} - 4 \]

\[ y = \frac{25}{7} - \frac{28}{7} \]

\[ y = -\frac{3}{7} \]

Ответ: Координаты точки пересечения прямых AB и CD равны (\(\frac{5}{7}\); -\(\frac{3}{7}\)).