6. По кругу, в некотором порядке, записали все натуральные числа от 1 до 507. Докажите, что найдётся число, слева от которого написано чётное число, и справа от которого через одно число тоже написано чётное число.

Разобьём места по кругу на три группы: в каждой будем переходить к месту через три позиции. Так получатся три цикла по 169 мест, поскольку 507 = 3 · 169.

В каждом таком цикле соседние места соответствуют местам, отстоящим на три позиции по исходному кругу. В цикле нечётной длины 169 нельзя выбрать больше 84 мест так, чтобы среди выбранных не было соседних: между любыми двумя выбранными местами должно оставаться хотя бы одно невыбранное.

Предположим, что чётные числа нигде не стоят на местах, отстоящих на три позиции. Тогда в каждом из трёх циклов чётными заняты не более 84 мест, всего — не более 3 · 84 = 252. Но среди чисел от 1 до 507 ровно 253 чётных числа. Получили противоречие.

Значит, найдутся два чётных числа, стоящие на расстоянии трёх позиций. Число на следующем после первого чётного месте имеет слева чётное число, а справа через одно число — второе чётное.

Ответ: такое число обязательно найдётся.