6. Площадь параллелограмма RADZ равна 36. Точка С — середина стороны RZ. Найдите площадь трапеции RCDA.

Задание 6. Параллелограмм и трапеция

Дано:

• Параллелограмм RADZ.
• Площадь параллелограмма: \( S_{RADZ} = 36 \).
• Точка C — середина стороны RZ.

Найти: площадь трапеции RCDA.

Решение:

1. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: \[ S = \text{основание} \times \text{высота} \].
2. В параллелограмме RADZ основание RZ имеет ту же длину, что и основание DA.
3. Рассмотрим основание RZ. Точка C — его середина, значит, RC = CD = DZ.
4. Трапеция RCDA имеет основания RZ и DA, а также боковые стороны RC и DA.
5. Представим параллелограмм RADZ как два равных треугольника: \( \triangle RAD \) и \( \triangle RZD \).
6. Площадь каждого треугольника равна половине площади параллелограмма: \[ S_{\triangle RZD} = \frac{1}{2} S_{RADZ} = \frac{1}{2} \times 36 = 18 \].
7. Теперь рассмотрим трапецию RCDA. Она состоит из треугольника RCD и треугольника RDA.
8. Площадь трапеции RCDA можно вычислить как сумму площадей треугольников \( \triangle RCD \) и \( \triangle RDA \).
9. Однако, проще заметить, что площадь трапеции RCDA равна площади параллелограмма RADZ минус площадь треугольника CDA.
10. Но так как C — середина RZ, то площадь \( \triangle CDA \) равна половине площади \( \triangle RDA \).
11. Альтернативный подход: площадь трапеции с основаниями \( b_1 \) и \( b_2 \) и высотой \( h \) равна \[ S = \frac{b_1 + b_2}{2} \times h \].
12. В трапеции RCDA основаниями являются RC и DA. Но это не так, основаниями являются RD и CA.
13. Давайте рассмотрим площади треугольников, на которые параллелограмм делится диагоналями.
14. Площадь \( \triangle RDC \) равна половине площади \( \triangle RZD \) (так как у них общее основание RD и высота от C равна половине высоты от Z к RD).
15. Площадь \( \triangle RZD \) равна 18.
16. Площадь \( \triangle RDC \) = \( \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \).
17. Пусть высота параллелограмма к основанию RZ равна \( h \). Тогда площадь параллелограмма \( S_{RADZ} = RZ \times h = 36 \).
18. Площадь \( \triangle RCD \) имеет основание CD. Так как C — середина RZ, то CD = \( \frac{1}{2} RZ \).
19. Высота \( \triangle RCD \) к основанию CD равна высоте параллелограмма \( h \).
20. Таким образом, площадь \( \triangle RCD \) = \( CD \times h = \frac{1}{2} RZ \times h = \frac{1}{2} S_{RADZ} = \frac{1}{2} \times 36 = 18 \).
21. Трапеция RCDA состоит из треугольника RCD и треугольника RDA.
22. Площадь \( \triangle RDA \) равна половине площади параллелограмма, то есть 18 (так как DA — основание, а высота от R к DA — та же, что и высота параллелограмма).
23. Площадь трапеции RCDA = Площадь \( \triangle RCD \) + Площадь \( \triangle RDA \).
24. Но это неверно. Трапеция RCDA образована вершинами R, C, D, A. Её основаниями являются RC и DA.
25. Площадь трапеции RCDA = \( \frac{RC + DA}{2} \times h \).
26. У нас RC = \( \frac{1}{2} RZ \) и DA = RZ.
27. Тогда Площадь RCDA = \( \frac{\frac{1}{2} RZ + RZ}{2} \times h = \frac{\frac{3}{2} RZ}{2} \times h = \frac{3}{4} RZ \times h = \frac{3}{4} S_{RADZ} \).
28. Площадь трапеции RCDA = \( \frac{3}{4} \times 36 = 3 \times 9 = 27 \).

Ответ: площадь трапеции RCDA равна 27.