№ 6. Отметьте на координатной плоскости точки: А(6;9), В(-7;8), С(-14;-2), D(4;-7) Проведите прямые АС и BD. Найдите координаты точек пересечения: а) прямых АС и BD; б) прямой АС с осью абсцисс; в) прямой BD с осью ординат.

Задание 6. Координатная плоскость

Сначала отметим точки на координатной плоскости:

• A(6; 9)
• B(-7; 8)
• C(-14; -2)
• D(4; -7)

Теперь найдём уравнения прямых AC и BD.

а) Прямая AC

Для нахождения уравнения прямой AC, проходящей через точки A(6; 9) и C(-14; -2), используем формулу уравнения прямой, проходящей через две точки:

\( \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \)

Подставим координаты точек A(6; 9) и C(-14; -2):

\( \frac{y - 9}{-2 - 9} = \frac{x - 6}{-14 - 6} \)

\( \frac{y - 9}{-11} = \frac{x - 6}{-20} \)

Умножим обе части на -11:

\( y - 9 = \frac{-11(x - 6)}{-20} \)

\( y - 9 = \frac{11}{20}(x - 6) \)

\( y = \frac{11}{20}x - \frac{66}{20} + 9 \)

\( y = \frac{11}{20}x - \frac{33}{10} + \frac{90}{10} \)

\( y = \frac{11}{20}x + \frac{57}{10} \)

Уравнение прямой AC: \( y = \frac{11}{20}x + 5.7 \)

б) Прямая BD

Для нахождения уравнения прямой BD, проходящей через точки B(-7; 8) и D(4; -7), используем ту же формулу:

\( \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \)

Подставим координаты точек B(-7; 8) и D(4; -7):

\( \frac{y - 8}{-7 - 8} = \frac{x - (-7)}{4 - (-7)} \)

\( \frac{y - 8}{-15} = \frac{x + 7}{11} \)

Умножим обе части на -15:

\( y - 8 = \frac{-15(x + 7)}{11} \)

\( y = -\frac{15}{11}x - \frac{105}{11} + 8 \)

\( y = -\frac{15}{11}x - \frac{105}{11} + \frac{88}{11} \)

\( y = -\frac{15}{11}x - \frac{17}{11} \)

Уравнение прямой BD: \( y = -\frac{15}{11}x - \frac{17}{11} \)

а) Координаты точки пересечения прямых AC и BD

Чтобы найти точку пересечения, приравняем уравнения прямых AC и BD:

\( \frac{11}{20}x + \frac{57}{10} = -\frac{15}{11}x - \frac{17}{11} \)

Приведём к общему знаменателю 220:

\( \frac{11 \cdot 11}{220}x + \frac{57 \cdot 22}{220} = -\frac{15 \cdot 20}{220}x - \frac{17 \cdot 20}{220} \)

\( 121x + 1254 = -300x - 340 \)

Соберём иксы слева, числа справа:

\( 121x + 300x = -340 - 1254 \)

\( 421x = -1594 \)

\( x = -\frac{1594}{421} \)

Теперь найдём y, подставив x в уравнение прямой AC:

\( y = \frac{11}{20} \left(-\frac{1594}{421}\right) + \frac{57}{10} \)

\( y = -\frac{11 \cdot 1594}{20 \cdot 421} + \frac{57 \cdot 2}{20} \)

\( y = -\frac{17534}{8420} + \frac{114}{20} \)

\( y = -\frac{8767}{4210} + \frac{114 \cdot 206}{4210} \)

\( y = -\frac{8767}{4210} + \frac{23484}{4210} \)

\( y = \frac{14717}{4210} \)

Точка пересечения прямых AC и BD: \( \left(-\frac{1594}{421}; \frac{14717}{4210}\right) \approx (-3.786; 3.496) \)

б) Прямая AC с осью абсцисс

Ось абсцисс — это ось x, где y = 0. Подставим y = 0 в уравнение прямой AC:

\( 0 = \frac{11}{20}x + \frac{57}{10} \)

\( -\frac{57}{10} = \frac{11}{20}x \)

\( x = -\frac{57}{10} \cdot \frac{20}{11} \)

\( x = -\frac{57 \cdot 2}{11} \)

\( x = -\frac{114}{11} \)

Точка пересечения прямой AC с осью абсцисс: \( \left(-\frac{114}{11}; 0\right) \approx (-10.364; 0) \)

в) Прямая BD с осью ординат

Ось ординат — это ось y, где x = 0. Подставим x = 0 в уравнение прямой BD:

\( y = -\frac{15}{11}(0) - \frac{17}{11} \)

\( y = -\frac{17}{11} \)

Точка пересечения прямой BD с осью ординат: \( \left(0; -\frac{17}{11}\right) \approx (0; -1.545) \)

Ответ:

• а) Точка пересечения прямых AC и BD: \( \left(-\frac{1594}{421}; \frac{14717}{4210}\right) \)
• б) Точка пересечения прямой AC с осью абсцисс: \( \left(-\frac{114}{11}; 0\right) \)
• в) Точка пересечения прямой BD с осью ординат: \( \left(0; -\frac{17}{11}\right) \)