6. Найдите значения выражения: 2 tg(π/6) - ctg(π/6) + 2 sin(π/6)

Решение:

Для вычисления значения выражения, подставим известные значения тригонометрических функций для угла \(\frac{\pi}{6}\) радиан (30 градусов):

• \( \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
• \( \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \)
• \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \)

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

\[ 2 \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} - \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} + 2 \sin \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} + 2 \cdot \frac{1}{2} \]\[ = \frac{2}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} + 1 \]\[ = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{3}{\sqrt{3}} + 1 \]\[ = \frac{2 - 3}{\sqrt{3}} + 1 \]\[ = -\frac{1}{\sqrt{3}} + 1 \]\[ = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Для удобства можно избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):

\[ 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Можно также записать ответ как одно дробное число:

\[ \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3} \]

Ответ: \( 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \) или \( \frac{3 - \sqrt{3}}{3} \).