6) \(\frac{2}{3}\)(\(\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}\)) = 4x + 2\(\frac{1}{2}\).

Решение:

1. Раскроем скобки в левой части уравнения, умножив \(\frac{2}{3}\) на каждый член внутри скобок: \( \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = 4x + 2\frac{1}{2} \)
2. Выполним умножение дробей: \( \frac{2}{9}x - \frac{2}{6} = 4x + 2\frac{1}{2} \)
3. Упростим дробь \(\frac{2}{6}\): \( \frac{2}{9}x - \frac{1}{3} = 4x + 2\frac{1}{2} \)
4. Преобразуем смешанное число \( 2\frac{1}{2} \) в неправильную дробь: \( 2\frac{1}{2} = \frac{2\cdot2+1}{2} = \frac{5}{2} \)
5. Уравнение примет вид: \( \frac{2}{9}x - \frac{1}{3} = 4x + \frac{5}{2} \)
6. Перенесем члены с \( x \) в правую часть, а числа — в левую: \( -\frac{1}{3} - \frac{5}{2} = 4x - \frac{2}{9}x \)
7. Приведем дроби к общему знаменателю в левой части: \( -\frac{1\cdot2}{3\cdot2} - \frac{5\cdot3}{2\cdot3} = -\frac{2}{6} - \frac{15}{6} = -\frac{17}{6} \)
8. Приведем дроби к общему знаменателю в правой части: \( 4x - \frac{2}{9}x = \frac{4\cdot9}{9}x - \frac{2}{9}x = \frac{36}{9}x - \frac{2}{9}x = \frac{34}{9}x \)
9. Уравнение теперь выглядит так: \( -\frac{17}{6} = \frac{34}{9}x \)
10. Найдем \( x \), умножив обе части на \( \frac{9}{34} \): \( x = -\frac{17}{6} \cdot \frac{9}{34} \)
11. Выполним умножение дробей, сокращая: \( x = -\frac{17}{2\cdot3} \cdot \frac{3\cdot3}{2\cdot17} \)
12. Сократим \( 17 \) и \( 3 \): \( x = -\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \)
13. Вычислим результат: \( x = -\frac{3}{4} \)

Ответ: \( x = -\frac{3}{4} \).