6. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.

Решение:

В параллелограмме ABCD диагональ BD образует с его сторонами углы.

1. Пусть \( \angle ADB = 65^{\circ} \) и \( \angle DBC = 50^{\circ} \).
2. Так как ABCD — параллелограмм, то AD || BC. Диагональ BD является секущей. Поэтому накрест лежащие углы \( \angle ADB \) и \( \angle DBC \) равны. Но по условию \( \angle ADB = 65^{\circ} \) и \( \angle DBC = 50^{\circ} \), что противоречит свойству параллелограмма.
3. Рассмотрим другой случай: пусть \( \angle ABD = 65^{\circ} \) и \( \angle BDC = 50^{\circ} \).
4. Так как AB || DC, то \( \angle ABD \) и \( \angle BDC \) являются накрест лежащими углами при секущей BD. Следовательно, \( \angle ABD = \angle BDC \). Но по условию \( \angle ABD = 65^{\circ} \) и \( \angle BDC = 50^{\circ} \), что также противоречит свойству параллелограмма.
5. Рассмотрим третий случай: пусть \( \angle CBD = 65^{\circ} \) и \( \angle ADB = 50^{\circ} \).
6. Так как AD || BC, то \( \angle ADB \) и \( \angle CBD \) являются накрест лежащими углами при секущей BD. Следовательно, \( \angle ADB = \angle CBD \). Но по условию \( \angle ADB = 50^{\circ} \) и \( \angle CBD = 65^{\circ} \).
7. Рассмотрим четвёртый случай: пусть \( \angle ABD = 50^{\circ} \) и \( \angle BDA = 65^{\circ} \).
8. В треугольнике ABD сумма углов равна 180°. \( \angle BAD = 180^{\circ} - (\angle ABD + \angle BDA) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 65^{\circ}) = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ} \).
9. В параллелограмме противоположные углы равны, значит \( \angle BCD = \angle BAD = 65^{\circ} \).
10. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. \( \angle ABC + \angle BCD = 180^{\circ} \), значит \( \angle ABC = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ} \).
11. \( \angle ADC = \angle ABC = 115^{\circ} \).
12. Меньший угол параллелограмма равен \( 65^{\circ} \).

Ответ: 65°.