6. Дано: ABCD — трапеция, BC = 3, ED = 4, ∠BAF = 60°, ∠CDE = 45°, BF и CE перпендикулярны AD. Найти AD, S_ABCD.

Опустим перпендикуляры BF и CE на основание AD. Тогда FE = BC = 3.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABF. Угол A равен \(60^\circ\), поэтому

\(AF=\frac{BF}{\tan60^\circ}\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник CED. Так как угол D равен \(45^\circ\), он равнобедренный прямоугольный, поэтому \(CE=ED=4\).

Следовательно, \(BF=CE=4\). Тогда

\(AF=\frac{4}{\sqrt3}=\frac{4\sqrt3}{3}\).

Длина большего основания:

\(AD=AF+FE+ED=\frac{4\sqrt3}{3}+3+4=7+\frac{4\sqrt3}{3}\).

Площадь трапеции:

\(S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BF\).

Подставим значения:

\(S_{ABCD}=\frac{7+\frac{4\sqrt3}{3}+3}{2}\cdot4=20+\frac{8\sqrt3}{3}\).

Ответ: \(AD=7+\frac{4\sqrt3}{3}\), \(S_{ABCD}=20+\frac{8\sqrt3}{3}\).