6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что DBC = 27°, ABD=61° и BDC=73°.

Решение:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

• Угол BAC опирается на дугу BC, на которую опирается угол DBC. Поэтому Угол BAC = Угол DBC = 27°.
• Угол CAD опирается на дугу CD, на которую опирается угол CBD. Угол CBD = Угол CBA - Угол DBA. Угол CBA = Угол CBD + Угол DBA.
• Угол ADB опирается на дугу AB, на которую опирается угол ACB.
• Угол CAD опирается на дугу CD. Угол CBD опирается на дугу CD. Угол BDC = 73°.
• Угол BCD = Угол BCA + Угол ACD.
• Угол DAB = Угол DAC + Угол CAB.
• Угол DAC опирается на дугу DC. Угол DBC опирается на дугу DC. Угол DAC = Угол DBC = 27°.
• Угол DAB = 27° + 61° = 88°.
• Угол BCD = 180° - Угол DAB = 180° - 88° = 92°.
• Угол ADC = Угол ADB + Угол BDC.
• Угол ADB опирается на дугу AB. Угол ACB опирается на дугу AB.
• В треугольнике BDC: Угол BCD = 180° - Угол DBC - Угол BDC = 180° - 27° - 73° = 80°.
• Угол BCD = 80°.
• Угол DAB = 180° - 80° = 100°.
• Угол DAB = Угол DAC + Угол CAB.
• Угол DAC опирается на дугу DC. Угол DBC = 27°. Значит, Угол DAC = 27°.
• Угол CAB = Угол DAB - Угол DAC = 100° - 27° = 73°.
• Угол ACB опирается на дугу AB. Угол ADB опирается на дугу AB.
• Угол ABD = 61°.
• Угол BDC = 73°.
• Угол CBD = 180° - 27° - 73° = 80° (это угол в треугольнике BDC, но нам нужно найти углы ABCD).
• Угол BAC = Угол BDC = 73° (опираются на дугу BC).
• Угол CAD = Угол CBD.
• Угол ABD = 61°. Угол ACD опирается на дугу AD. Угол ABD опирается на дугу AD. Значит, Угол ACD = 61°.
• Угол BCA опирается на дугу AB. Угол BDA опирается на дугу AB.
• В треугольнике ABD: Угол ADB = 180° - Угол DAB - Угол ABD.
• Найдем углы ABCD:
• Угол A = Угол CAB + Угол CAD.
• Угол B = Угол ABD + Угол DBC.
• Угол C = Угол BCA + Угол ACD.
• Угол D = Угол ADB + Угол BDC.
• Угол BAC = Угол BDC = 73° (опираются на дугу BC).
• Угол CAD = Угол CBD = ?
• Угол ABD = 61°. Угол ACD = 61° (опираются на дугу AD).
• Угол DBC = 27°. Угол DAC = 27° (опираются на дугу DC).
• Угол ADB = 180° - 73° - 27° = 80° (угол в треугольнике ABD, если DAB = 100).
• Угол ADB = 180° - 73° - 27° = 80° (неверно).
• Угол ADB = ?
• Угол BDC = 73°.
• Угол ADC = Угол ADB + 73°.
• Угол ABC = Угол ABD + Угол DBC = 61° + 27° = 88°.
• Угол BCD = 180° - Угол DAB.
• Угол DAB = Угол DAC + Угол CAB.
• Угол CAB = Угол CDB = 73° (опираются на дугу CB).
• Угол DAC = Угол DBC = 27° (опираются на дугу DC).
• Угол DAB = 73° + 27° = 100°.
• Угол BCD = 180° - 100° = 80°.
• Угол ADB = 180° - Угол BDC - Угол DBC = 180° - 73° - 27° = 80° (это угол в треугольнике BDC, а не в четырёхугольнике).
• Угол ACB = Угол ADB.
• Угол ADB опирается на дугу AB. Угол ACB опирается на дугу AB.
• Угол ABD = 61°. Угол ACD = 61° (опираются на дугу AD).
• Угол ADC = Угол ADB + Угол BDC.
• Угол ABC = 88°.
• Угол ADC = 180° - 88° = 92°.
• Угол ADB = Угол ADC - Угол BDC = 92° - 73° = 19°.
• Угол ACB = Угол ADB = 19°.
• Угол BCD = Угол BCA + Угол ACD = 19° + 61° = 80°.
• Угол ABC = 88°.
• Угол BCD = 80°.
• Угол CDA = 92°.
• Угол DAB = 100°.
• Проверка: 88° + 80° + 92° + 100° = 360°.

Ответ: Угол A = 100°, Угол B = 88°, Угол C = 80°, Угол D = 92°.