6. ABCD — трапеция. BC = 3, ED = 4, ∠A = 60°, ∠D = 45°, BE ⟂ AD, CF ⟂ AD. Найти AD и S_ABCD.

Обозначим высоту трапеции через \(h\). Так как \(CF \perp AD\), то \(CF = h\).

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(CDE\). Угол \(D = 45^\circ\), поэтому

   \[\tan 45^\circ = \frac{CF}{ED}.\]

   Следовательно, \(h = CF = ED = 4\).

2. В прямоугольном треугольнике \(ABF\):

   \[\tan 60^\circ = \frac{BF}{AF},\qquad AF = \frac{BF}{\tan 60^\circ} = \frac{4}{\sqrt3}.\]

3. Так как \(BEFC\) — прямоугольник, то \(FE = BC = 3\). Поэтому

   \[AD = AF + FE + ED = \frac{4}{\sqrt3}+3+4 = 7+\frac{4}{\sqrt3}.\]

4. Площадь трапеции:

   \[S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot h.\]

   Подставим значения:

   \[S_{ABCD}=\frac{7+\frac{4}{\sqrt3}+3}{2}\cdot4 = 20+\frac{8}{\sqrt3}=20+\frac{8\sqrt3}{3}.\]

Ответ: \(AD=7+\frac{4\sqrt3}{3}\), \(S_{ABCD}=20+\frac{8\sqrt3}{3}\).