6) ABCD — квадрат. M ∈ (ABC), MA=MB=MC=MD=10 см. Расстояние от точки M до DC равно 8 см. Найдите площадь квадрата ABCD.

Решение:

Пусть O — центр квадрата ABCD. Тогда MO — высота пирамиды, опущенная из точки M на плоскость основания. Так как ABCD — квадрат, то DC || AB.

Расстояние от точки M до стороны DC равно 8 см. Это означает, что высота пирамиды, опущенная из точки M на сторону DC, равна 8 см. Обозначим середину стороны DC как K. Тогда MK = 8 см.

В квадрате ABCD сторона DC = AB. Расстояние от центра квадрата O до стороны DC равно половине стороны квадрата, то есть OK = \( \frac{1}{2} DC \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник MKO. По теореме Пифагора:

\( MO^2 + OK^2 = MK^2 \)

\( MO^2 + (\frac{1}{2} DC)^2 = 8^2 \)

Также, MA = MB = MC = MD = 10 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник MOC. OC — половина диагонали квадрата. Диагональ квадрата равна \( a√{2} \), где \( a \) — сторона квадрата. Значит, \( OC = \frac{a√{2}}{2} \).

В прямоугольном треугольнике MOC:

\( MO^2 + OC^2 = MC^2 \)

\( MO^2 + (\frac{a√{2}}{2})^2 = 10^2 \)

\( MO^2 + \frac{a^2 \cdot 2}{4} = 100 \)

\( MO^2 + \frac{a^2}{2} = 100 \)

Из первого уравнения, \( MO^2 = 64 - \frac{a^2}{4} \).

Подставим во второе уравнение:

\( 64 - \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{2} = 100 \)

\( 64 + \frac{a^2}{4} = 100 \)

\( \frac{a^2}{4} = 100 - 64 = 36 \)

\( a^2 = 36 × 4 = 144 \)

Площадь квадрата ABCD равна \( a^2 \).

Ответ: Площадь квадрата ABCD равна 144 см².