6) a - 2/a = 2. Вычислите a^3 - 8/a^3.

Решение:

Дано: \( a - \frac{2}{a} = 2 \)

Найти: \( a^3 - \frac{8}{a^3} \)

1. Возведём обе части данного уравнения в куб: \( \left( a - \frac{2}{a} \right)^3 = 2^3 \)
2. Раскроем скобки по формуле куба разности: \( a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot \frac{2}{a} + 3 \cdot a \cdot \left( \frac{2}{a} \right)^2 - \left( \frac{2}{a} \right)^3 = 8 \)
3. Упростим выражение: \( a^3 - 6a + 3a \cdot \frac{4}{a^2} - \frac{8}{a^3} = 8 \)
4. Продолжим упрощение: \( a^3 - 6a + \frac{12}{a} - \frac{8}{a^3} = 8 \)
5. Вынесем общий множитель \( -3 \) из членов \( -6a \) и \( +\frac{12}{a} \): \( a^3 - 3 \left( 2a - \frac{4}{a} \right) - \frac{8}{a^3} = 8 \). Здесь есть ошибка, должно быть \( a^3 - 3 \cdot a \cdot \frac{2}{a} \cdot (a - \frac{2}{a}) - \frac{8}{a^3} = 8 \).
6. Сгруппируем слагаемые: \( \left( a^3 - \frac{8}{a^3} \right) - 3 \cdot a \cdot \frac{2}{a} \left( a - \frac{2}{a} \right) = 8 \)
7. Подставим известные значения: \( a - \frac{2}{a} = 2 \) и \( a \cdot \frac{2}{a} = 2 \): \( \left( a^3 - \frac{8}{a^3} \right) - 3 \cdot 2 \cdot (2) = 8 \)
8. Выполним вычисления: \( a^3 - \frac{8}{a^3} - 12 = 8 \)
9. Перенесём 12 в правую часть: \( a^3 - \frac{8}{a^3} = 8 + 12 \)
10. Найдём окончательный результат: \( a^3 - \frac{8}{a^3} = 20 \)

Ответ: 20.