6) {5x - y = 1, {x + 3y = 5 6) {3x + 5y = 2, {4x + 7y = 6

Привет! Давай разберем эти системы уравнений вместе. Это как детектив, только вместо преступников ищем неизвестные x и y!

Система 1:

• \[ \begin{cases} 5x - y = 1 \\ x + 3y = 5 \end{cases} \]

Метод подстановки:

1. Выразим x из второго уравнения:
   \[ x = 5 - 3y \]
2. Подставим это выражение в первое уравнение:
   \[ 5(5 - 3y) - y = 1 \]
3. Раскроем скобки и решим относительно y:
   \[ 25 - 15y - y = 1 \]\[ 25 - 16y = 1 \]\[ -16y = 1 - 25 \]\[ -16y = -24 \]\[ y = \frac{-24}{-16} = \frac{3}{2} \]
4. Теперь найдем x, подставив значение y в выражение для x:
   \[ x = 5 - 3 \left( \frac{3}{2} \right) \]\[ x = 5 - \frac{9}{2} \]\[ x = \frac{10}{2} - \frac{9}{2} = \frac{1}{2} \]

Проверка:

• Первое уравнение:
  \[ 5\left( \frac{1}{2} \right) - \frac{3}{2} = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] (Верно!)
• Второе уравнение:
  \[ \frac{1}{2} + 3\left( \frac{3}{2} \right) = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] (Верно!)

Ответ для системы 1:
x = 1/2, y = 3/2

---

Система 2:

• \[ \begin{cases} 3x + 5y = 2 \\ 4x + 7y = 6 \end{cases} \]

Метод Крамера (через определители):

1. Найдем главный определитель системы (D):
   \[ D = \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 7 \end{vmatrix} = (3 \times 7) - (5 \times 4) = 21 - 20 = 1 \]
2. Найдем определитель для x (Dx): заменим первый столбец коэффициентов при x на столбец свободных членов.
   \[ Dx = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 6 & 7 \end{vmatrix} = (2 \times 7) - (5 \times 6) = 14 - 30 = -16 \]
3. Найдем определитель для y (Dy): заменим второй столбец коэффициентов при y на столбец свободных членов.
   \[ Dy = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = (3 \times 6) - (2 \times 4) = 18 - 8 = 10 \]
4. Найдем x и y:
   \[ x = \frac{Dx}{D} = \frac{-16}{1} = -16 \]\[ y = \frac{Dy}{D} = \frac{10}{1} = 10 \]

Проверка:

• Первое уравнение:
  \[ 3(-16) + 5(10) = -48 + 50 = 2 \] (Верно!)
• Второе уравнение:
  \[ 4(-16) + 7(10) = -64 + 70 = 6 \] (Верно!)

Ответ для системы 2:
x = -16, y = 10

Вот и всё! Мы справились с обеими системами. Если что-то осталось непонятным, смело спрашивай!