6) 4sin² x + 9ctg² x = 6.

Положим \(y=\sin^2x\). Тогда \(\operatorname{ctg}^2x=\frac{\cos^2x}{\sin^2x}=\frac{1-y}{y}\), причём \(y\ne0\).

1. Подставим в уравнение: \(4y+9\frac{1-y}{y}=6\).
2. Умножим на \(y\): \(4y^2+9-9y=6y\).
3. Получим квадратное уравнение: \(4y^2-15y+9=0\).
4. Найдём корни: \(y=\frac{15\pm9}{8}\), то есть \(y=3\) или \(y=\frac34\).
5. Корень \(y=3\) невозможен, так как \(\sin^2x\le1\). Поэтому \(\sin^2x=\frac34\).

Отсюда \(\sin x=\pm\frac{\sqrt3}{2}\), поэтому

\(x=\frac{\pi}{3}+\pi k\) или \(x=\frac{2\pi}{3}+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

Ответ: \(x=\frac{\pi}{3}+\pi k\) или \(x=\frac{2\pi}{3}+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).