6* (2 балла). Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC - равносторонние. Доказать: АВ || CD.

Решение:

Нам дано, что \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\) — равносторонние. Это означает, что все их стороны и все их углы равны.

1. Так как \(\triangle ABC\) — равносторонний, то \( AB = BC = AC \) и \( \angle BAC = \angle ABC = \angle BCA = 60^\circ \).
2. Так как \(\triangle ADC\) — равносторонний, то \( AD = DC = AC \) и \( \angle DAC = \angle ADC = \angle DCA = 60^\circ \).
3. Из равенства сторон равносторонних треугольников следует, что \( AB = AC \) и \( AC = DC \). Следовательно, \( AB = DC \).
4. Рассмотрим углы, образованные при пересечении прямой \(AC\) с прямыми \(AB\) и \(DC\).
5. Угол \(\angle BAC = 60^\circ\).
6. Угол \(\angle DCA = 60^\circ\).
7. Углы \( \angle BAC \) и \( \angle DCA \) являются накрест лежащими углами при прямых \(AB\) и \(DC\) и секущей \(AC\).
8. Так как \( \angle BAC = \angle DCA = 60^\circ \), и они являются накрест лежащими, то прямые \(AB\) и \(DC\) параллельны.
9. \( AB
   ||
   DC \).

Доказано.