6.(2 балла) Прямые АС, АВ и АД попарно перпендикулярны. Найдите отрезок СД, если АВ=5 см, ВС=13 см, АД=9 см.

Дано:

• AC ⊥ AB, AC ⊥ AD, AB ⊥ AD.
• AB = 5 см
• BC = 13 см
• AD = 9 см

Найти: CD

Решение:

Так как AC, AB и AD попарно перпендикулярны, можно представить, что точка A является началом трех взаимно перпендикулярных осей.

1. Найдем длину AC. Треугольник ABC является прямоугольным (так как AC ⊥ AB).

По теореме Пифагора:

$$ AC^2 + AB^2 = BC^2 $$

$$ AC^2 + 5^2 = 13^2 $$

$$ AC^2 + 25 = 169 $$

$$ AC^2 = 169 - 25 $$

$$ AC^2 = 144 $$

$$ AC = \sqrt{144} = 12 \text{ см} $$

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACD (так как AC ⊥ AD).

По теореме Пифагора:

$$ AC^2 + AD^2 = CD^2 $$

$$ 12^2 + 9^2 = CD^2 $$

$$ 144 + 81 = CD^2 $$

$$ 225 = CD^2 $$

$$ CD = \sqrt{225} = 15 \text{ см} $$

Ответ: 15 см