6. (2 балла) Найдите все первообразные функции: 1) f(x) = 5x⁴ - 2 √x ; 2) f(x) = 3 cos x - 4.

Решение:

Первообразная находится по правилу \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и \( \int k f(x) dx = k \int f(x) dx \).

1. Для функции \( f(x) = 5x^4 - \frac{2}{\sqrt{x}} \). Представим \( \frac{2}{\sqrt{x}} \) как \( 2x^{-1/2} \).

   
   \( F(x) = \int (5x^4 - 2x^{-1/2}) dx \)
   \( F(x) = 5 \int x^4 dx - 2 \int x^{-1/2} dx \)
   \( F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 2 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C \)
   \( F(x) = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C \)
   \( F(x) = x^5 - 4x^{1/2} + C \)



2. Для функции \( f(x) = 3\cos(x) - 4 \).

   
   \( F(x) = \int (3\cos(x) - 4) dx \)
   \( F(x) = 3 \int \cos(x) dx - 4 \int 1 dx \)
   \( F(x) = 3\sin(x) - 4x + C \)

Ответ: 1) \( x^5 - 4\sqrt{x} + C \); 2) \( 3\sin(x) - 4x + C \).