6.(2 балла) Найдите все первообразные функции: 1)f(x)= 5x-12x²; 2) f(x)= sin x 1 X

Решение:

1) Первообразная для функции \( f(x) = 5x - 12x^2 \)

Используем правила интегрирования:

• Первообразная от \( ax^n \) равна \( \frac{a}{n+1}x^{n+1} \).
• Первообразная от \( k \) (константы) равна \( kx \).

Найдём первообразную для каждого члена:

• Первообразная от \( 5x \) (где \( n=1 \)) равна \( \frac{5}{1+1}x^{1+1} = \frac{5}{2}x^2 \).
• Первообразная от \( -12x^2 \) (где \( n=2 \)) равна \( \frac{-12}{2+1}x^{2+1} = \frac{-12}{3}x^3 = -4x^3 \).

Общая первообразная \( F(x) \) равна сумме первообразных с добавлением константы \( C \):

\[ F(x) = \frac{5}{2}x^2 - 4x^3 + C \]

2) Первообразная для функции \( f(x) = · sin x - \frac{1}{x} \)

Используем известные первообразные:

• Первообразная от \( · sin x \) равна \( -· cos x \).
• Первообразная от \( \frac{1}{x} \) равна \( · ln|x| \).

Общая первообразная \( F(x) \) равна разности первообразных с добавлением константы \( C \):

\[ F(x) = -· cos x - · ln|x| + C \]

Ответ: 1) \( F(x) = \frac{5}{2}x^2 - 4x^3 + C \); 2) \( F(x) = -· cos x - · ln|x| + C \)