59. В треугольнике ABC проведены медианы AM и CK. Периметры треугольников ACK и BCK равны, а периметр треугольника ABC равен 26 см. Найдите разность периметров треугольников ABM и ACM, если AB = 10 см.

Так как CK — медиана, точка K является серединой стороны AB:

\[AK=KB=\frac{AB}{2}=5\text{ см}.\]

Обозначим \(AC=b\), \(BC=c\), а длину медианы CK — через \(d\).

По условию периметры треугольников ACK и BCK равны:

\[b+d+5=c+d+5,\]

откуда \(b=c\).

Периметр треугольника ABC равен 26 см:

\[10+b+c=26.\]

Так как \(b=c\), получаем:

\[10+2b=26,\quad b=c=8\text{ см}.\]

Поскольку AM — медиана, \(BM=CM\). Поэтому:

\[P_{ABM}=AB+BM+AM,\]

\[P_{ACM}=AC+CM+AM.\]

Их разность равна:

\[P_{ABM}-P_{ACM}=AB-AC=10-8=2\text{ см}.\]

Ответ: 2 см.