573. Арифметическая прогрессия задана формулой a_n = 3n + 2. Найдите сумму первых:

Краткая запись:

• Формула n-го члена: \( a_n = 3n + 2 \)
• Найти: Сумму первых членов

Пошаговое решение:

а) Двадцати её членов:

1. Шаг 1: Находим первый член прогрессии (\( a_1 \)). Подставляем \( n=1 \) в формулу \( a_n = 3n + 2 \):
   \( a_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 5 \)
2. Шаг 2: Находим двадцатый член прогрессии (\( a_{20} \)). Подставляем \( n=20 \) в формулу \( a_n = 3n + 2 \):
   \( a_{20} = 3 \cdot 20 + 2 = 60 + 2 = 62 \)
3. Шаг 3: Находим сумму двадцати первых членов (\( S_{20} \)) по формуле \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \):
   \( S_{20} = \frac{5 + 62}{2} \cdot 20 = \frac{67}{2} \cdot 20 = 67 \cdot 10 = 670 \)

б) Пятнадцати её членов:

1. Шаг 1: Первый член прогрессии \( a_1 = 5 \) (найден в пункте а).
2. Шаг 2: Находим пятнадцатый член прогрессии (\( a_{15} \)). Подставляем \( n=15 \) в формулу \( a_n = 3n + 2 \):
   \( a_{15} = 3 \cdot 15 + 2 = 45 + 2 = 47 \)
3. Шаг 3: Находим сумму пятнадцати первых членов (\( S_{15} \)) по формуле \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \):
   \( S_{15} = \frac{5 + 47}{2} \cdot 15 = \frac{52}{2} \cdot 15 = 26 \cdot 15 = 390 \)

Ответ: а) 670; б) 390