57. Постройте графики функций y = 2x − 3; y = −x + 5; y = x/2 и y = −2. Для каждой из функций найдите: а) область определения; б) множество значений; в) нули; г) значения аргумента, при которых функция принимает положительные и отрицательные значения; д) угловой коэффициент прямой; е) координаты точки пересечения графика функции с осью ординат.

Question

57. Постройте графики функций y = 2x − 3; y = −x + 5; y = x/2 и y = −2. Для каждой из функций найдите: а) область определения; б) множество значений; в) нули; г) значения аргумента, при которых функция принимает положительные и отрицательные значения; д) угловой коэффициент прямой; е) координаты точки пересечения графика функции с осью ординат.

Фото задания: 57. Постройте графики функций y = 2x − 3; y = −x + 5; y = x/2 и y = −2. Для каждой из функций найдите: а) область…

Accepted Answer

Все четыре функции являются линейными, поэтому область определения для каждой функции — множество всех действительных чисел.

\(y=2x-3\).
а) \(D(y)=\mathbb{R}\).
б) \(E(y)=\mathbb{R}\).
в) Нуль функции: \(2x-3=0\), откуда \(x=\frac{3}{2}\).
г) \(y>0\), если \(x>\frac{3}{2}\); \(y<0\), если \(x<\frac{3}{2}\).
д) Угловой коэффициент: \(k=2\).
е) При \(x=0\): \(y=-3\), поэтому точка пересечения с осью ординат — \((0;-3)\).
Для построения можно отметить точки \((0;-3)\) и \((2;1)\).
\(y=-x+5\).
а) \(D(y)=\mathbb{R}\).
б) \(E(y)=\mathbb{R}\).
в) Нуль функции: \(-x+5=0\), откуда \(x=5\).
г) \(y>0\), если \(x<5\); \(y<0\), если \(x>5\).
д) Угловой коэффициент: \(k=-1\).
е) При \(x=0\): \(y=5\), поэтому точка пересечения с осью ординат — \((0;5)\).
Для построения можно отметить точки \((0;5)\) и \((5;0)\).
\(y=\frac{x}{2}\).
а) \(D(y)=\mathbb{R}\).
б) \(E(y)=\mathbb{R}\).
в) Нуль функции: \(\frac{x}{2}=0\), откуда \(x=0\).
г) \(y>0\), если \(x>0\); \(y<0\), если \(x<0\).
д) Угловой коэффициент: \(k=\frac{1}{2}\).
е) При \(x=0\): \(y=0\), поэтому точка пересечения с осью ординат — \((0;0)\).
Для построения можно отметить точки \((0;0)\) и \((2;1)\).
\(y=-2\).
а) \(D(y)=\mathbb{R}\).
б) \(E(y)=\{-2\}\).
в) Нулей нет, так как \(-2\neq0\).
г) Положительных значений функция не принимает; отрицательные значения принимает при всех \(x\in\mathbb{R}\).
д) Угловой коэффициент: \(k=0\).
е) При \(x=0\): \(y=-2\), поэтому точка пересечения с осью ординат — \((0;-2)\).
График — горизонтальная прямая \(y=-2\).

Графики:

Ответ: \(y=2x-3\): нуль \(\frac{3}{2}\), \(k=2\), пересечение с осью ординат \((0;-3)\); \(y=-x+5\): нуль \(5\), \(k=-1\), пересечение \((0;5)\); \(y=\frac{x}{2}\): нуль \(0\), \(k=\frac12\), пересечение \((0;0)\); \(y=-2\): нулей нет, \(k=0\), пересечение \((0;-2)\).