561. 1) {x² + xy = 2, y - 3x = 7; 2) {x² – xy – y² = 19, x - y = 7; 3) {x + y = 1, x² + y² = 5; 4) {x² + y² = 17, x - y = 3. 562. 1) {x + y = 5, xy = 6; 2) {xy = 7, x + y = 8; 3) {x + y = 12, xy = 11; 4) {x + y = -7, xy = 10. Глава V. Квадратные уравнения 232

Задание 561

1) Система уравнений:

{ x² + xy = 2

{ y - 3x = 7

Решение:

1. Выразим y из второго уравнения: y = 3x + 7.
2. Подставим в первое уравнение: x² + x(3x + 7) = 2.
3. Раскроем скобки: x² + 3x² + 7x = 2.
4. Приведём подобные: 4x² + 7x - 2 = 0.
5. Решим квадратное уравнение:

\( x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2)}}{2 \cdot 4} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 32}}{8} = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{8} = \frac{-7 \pm 9}{8} \)

Два корня: \( x_1 = \frac{-7 + 9}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \) и \( x_2 = \frac{-7 - 9}{8} = \frac{-16}{8} = -2 \).

Найдем соответствующие значения y:

• При \( x_1 = \frac{1}{4} \): \( y_1 = 3(\frac{1}{4}) + 7 = \frac{3}{4} + \frac{28}{4} = \frac{31}{4} \).
• При \( x_2 = -2 \): \( y_2 = 3(-2) + 7 = -6 + 7 = 1 \).

Ответ: (1/4; 31/4), (-2; 1).

2) Система уравнений:

{ x² – xy – y² = 19

{ x - y = 7

Решение:

1. Выразим x из второго уравнения: x = y + 7.
2. Подставим в первое уравнение: (y + 7)² - (y + 7)y - y² = 19.
3. Раскроем скобки: (y² + 14y + 49) - (y² + 7y) - y² = 19.
4. Упростим: y² + 14y + 49 - y² - 7y - y² = 19.
5. Приведём подобные: -y² + 7y + 49 = 19.
6. Перенесём всё в одну сторону: -y² + 7y + 30 = 0 или y² - 7y - 30 = 0.
7. Решим квадратное уравнение: \( y = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30)}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 120}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{7 \pm 13}{2} \).
8. Два корня: \( y_1 = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) и \( y_2 = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \).
9. Найдем соответствующие значения x:
• При \( y_1 = 10 \): \( x_1 = 10 + 7 = 17 \).
• При \( y_2 = -3 \): \( x_2 = -3 + 7 = 4 \).

Ответ: (17; 10), (4; -3).

3) Система уравнений:

{ x + y = 1

{ x² + y² = 5

Решение:

1. Из первого уравнения: y = 1 - x.
2. Подставим во второе: x² + (1 - x)² = 5.
3. Раскроем скобки: x² + (1 - 2x + x²) = 5.
4. Приведём подобные: 2x² - 2x + 1 = 5.
5. Перенесём всё в одну сторону: 2x² - 2x - 4 = 0.
6. Разделим на 2: x² - x - 2 = 0.
7. Решим квадратное уравнение: \( x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \).
8. Два корня: \( x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \).
9. Найдем соответствующие значения y:
• При \( x_1 = 2 \): \( y_1 = 1 - 2 = -1 \).
• При \( x_2 = -1 \): \( y_2 = 1 - (-1) = 2 \).

Ответ: (2; -1), (-1; 2).

4) Система уравнений:

{ x² + y² = 17

{ x - y = 3

Решение:

1. Из второго уравнения: x = y + 3.
2. Подставим в первое: (y + 3)² + y² = 17.
3. Раскроем скобки: (y² + 6y + 9) + y² = 17.
4. Приведём подобные: 2y² + 6y + 9 = 17.
5. Перенесём всё в одну сторону: 2y² + 6y - 8 = 0.
6. Разделим на 2: y² + 3y - 4 = 0.
7. Решим квадратное уравнение: \( y = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2} \).
8. Два корня: \( y_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \) и \( y_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4 \).
9. Найдем соответствующие значения x:
• При \( y_1 = 1 \): \( x_1 = 1 + 3 = 4 \).
• При \( y_2 = -4 \): \( x_2 = -4 + 3 = -1 \).

Ответ: (4; 1), (-1; -4).

Задание 562

1) Система уравнений:

{ x + y = 5

{ xy = 6

Решение:

Это система, где сумма двух чисел равна 5, а произведение равно 6. Это числа 2 и 3.

Проверка:

• \( 2 + 3 = 5 \)
• \( 2 \cdot 3 = 6 \)

Ответ: (2; 3), (3; 2).

2) Система уравнений:

{ xy = 7

{ x + y = 8

Решение:

1. Из второго уравнения: y = 8 - x.
2. Подставим в первое: x(8 - x) = 7.
3. Раскроем скобки: 8x - x² = 7.
4. Перенесём всё в одну сторону: -x² + 8x - 7 = 0 или x² - 8x + 7 = 0.
5. Решим квадратное уравнение: \( x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2} \).
6. Два корня: \( x_1 = \frac{8 + 6}{2} = 7 \) и \( x_2 = \frac{8 - 6}{2} = 1 \).
7. Найдем соответствующие значения y:
• При \( x_1 = 7 \): \( y_1 = 8 - 7 = 1 \).
• При \( x_2 = 1 \): \( y_2 = 8 - 1 = 7 \).

Ответ: (7; 1), (1; 7).

3) Система уравнений:

{ x + y = 12

{ xy = 11

Решение:

1. Из первого уравнения: y = 12 - x.
2. Подставим в первое: x(12 - x) = 11.
3. Раскроем скобки: 12x - x² = 11.
4. Перенесём всё в одну сторону: -x² + 12x - 11 = 0 или x² - 12x + 11 = 0.
5. Решим квадратное уравнение: \( x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 44}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{12 \pm 10}{2} \).
6. Два корня: \( x_1 = \frac{12 + 10}{2} = 11 \) и \( x_2 = \frac{12 - 10}{2} = 1 \).
7. Найдем соответствующие значения y:
• При \( x_1 = 11 \): \( y_1 = 12 - 11 = 1 \).
• При \( x_2 = 1 \): \( y_2 = 12 - 1 = 11 \).

Ответ: (11; 1), (1; 11).

4) Система уравнений:

{ x + y = -7

{ xy = 10

Решение:

1. Из первого уравнения: y = -7 - x.
2. Подставим во второе: x(-7 - x) = 10.
3. Раскроем скобки: -7x - x² = 10.
4. Перенесём всё в одну сторону: -x² - 7x - 10 = 0 или x² + 7x + 10 = 0.
5. Решим квадратное уравнение: \( x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 \pm 3}{2} \).
6. Два корня: \( x_1 = \frac{-7 + 3}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{-7 - 3}{2} = -5 \).
7. Найдем соответствующие значения y:
• При \( x_1 = -2 \): \( y_1 = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5 \).
• При \( x_2 = -5 \): \( y_2 = -7 - (-5) = -7 + 5 = -2 \).

Ответ: (-2; -5), (-5; -2).

Глава V. Квадратные уравнения

232