56. В ящике лежит сто разноцветных шариков: 28 красных, 20 зеленых, 12 желтых, 20 синих, 10 белых и 10 черных. Какое наименьшее число шариков надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них обязательно оказалось 15 шариков одного цвета?

Решение:

Эта задача решается по принципу Дирихле. Чтобы гарантированно вытащить 15 шариков одного цвета, нужно рассмотреть наихудший сценарий. Это значит, что мы будем вытаскивать шарики так, чтобы как можно дольше не набиралось 15 шариков одного цвета.

1. Мы можем вытащить все шарики всех цветов, кроме одного, в количестве, не достигающем 15.
2. Максимальное количество шариков, которое можно вытащить, не получив 15 одного цвета:
• Все 28 красных шариков.
• Все 20 зеленых шариков.
• Все 12 желтых шариков.
• Все 20 синих шариков.
• 14 белых шариков (один меньше, чем нужно).
• 14 черных шариков (один меньше, чем нужно).
3. Суммируем эти количества: \( 28 + 20 + 12 + 20 + 14 + 14 = 108 \) шариков.
4. Следующий, 109-й шарик, который мы вытащим, ОБЯЗАТЕЛЬНО будет либо красным (дополнив до 29), либо зеленым (дополнив до 21), либо желтым (дополнив до 13), либо синим (дополнив до 21), либо белым (дополнив до 15), либо черным (дополнив до 15).
5. Однако, в условии задачи сказано, что шариков всего 100. Давайте пересчитаем, учитывая общее количество шариков.
6. Наихудший сценарий, чтобы НЕ получить 15 шариков одного цвета:
• Все 28 красных.
• Все 20 зеленых.
• Все 12 желтых.
• Все 20 синих.
• 10 белых.
• 10 черных.
7. В сумме это \( 28 + 20 + 12 + 20 + 10 + 10 = 100 \) шариков.
8. Теперь рассмотрим, как получить 15 шариков одного цвета. Мы должны вытащить все шарики, кроме 15, всех цветов, у которых количество шариков больше или равно 15.
9. Количество шариков по цветам:
• Красные: 28
• Зеленые: 20
• Желтые: 12
• Синие: 20
• Белые: 10
• Черные: 10
10. Нас интересует, когда мы ОБЯЗАТЕЛЬНО вытащим 15 шариков. Наихудший случай — когда мы вытаскиваем по 14 шариков каждого цвета, у которых больше 14 шариков.
11. Максимальное количество шариков, которое мы можем вытащить, не получив 15 одного цвета:
• 28 красных
• 20 зеленых
• 14 желтых (т.к. всего 12, это невозможно, значит, вытаскиваем все 12 желтых)
• 20 синих
• 14 белых (т.к. всего 10, это невозможно, значит, вытаскиваем все 10 белых)
• 14 черных (т.к. всего 10, это невозможно, значит, вытаскиваем все 10 черных)
12. Переформулируем: Чтобы гарантированно иметь 15 шариков одного цвета, мы должны вытащить все шарики, кроме 14, от всех цветов, где есть хотя бы 15 шариков.
13. Количество шариков: Красные (28), Зеленые (20), Желтые (12), Синие (20), Белые (10), Черные (10).
14. Цвета, где есть 15 или более шариков: Красные (28), Зеленые (20), Синие (20).
15. В наихудшем случае мы вытаскиваем:
• Все 12 желтых.
• Все 10 белых.
• Все 10 черных.
• 14 красных.
• 14 зеленых.
• 14 синих.
16. Сумма шариков в этом наихудшем случае: \( 12 + 10 + 10 + 14 + 14 + 14 = 74 \).
17. Следующий, 75-й шарик, будет либо красным (дополнит до 15), либо зеленым (дополнит до 15), либо синим (дополнит до 15).

Ответ: 75.