54. Найти частное:

Пошаговое решение:

1. Задание 1:
   Вычисляем частное: \( \frac{\cos{\frac{\pi}{2}} + i\sin{\frac{\pi}{2}}}{\cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}}} \)
   Так как \( \cos{\frac{\pi}{2}} = 0 \) и \( \sin{\frac{\pi}{2}} = 1 \), числитель равен \( 0 + i\cdot1 = i \).
   Так как \( \cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} \) и \( \sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), знаменатель равен \( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \).
   Делим комплексные числа: \( \frac{i}{\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}} \).
   Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю: \( \frac{i(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})}{(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{\frac{1}{2}i - i^2\frac{\sqrt{3}}{2}}{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i}{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \).
2. Задание 2:
   Вычисляем частное: \( \frac{8(\cos{\frac{5\pi}{4}} + i\sin{\frac{5\pi}{4}})}{2(\cos{\frac{3\pi}{4}} + i\sin{\frac{3\pi}{4}})} \).
   Упрощаем коэффициент: \( \frac{8}{2} = 4 \).
   Так как \( \cos{\frac{5\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin{\frac{5\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), числитель равен \( 8(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) \).
   Так как \( \cos{\frac{3\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin{\frac{3\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), знаменатель равен \( 2(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) \).
   Делим комплексные числа по формуле \( \frac{r_1(\cos{\theta_1} + i\sin{\theta_1})}{r_2(\cos{\theta_2} + i\sin{\theta_2})} = \frac{r_1}{r_2} (\cos{(\theta_1 - \theta_2)} + i\sin{(\theta_1 - \theta_2)}) \).
   \( \theta_1 = \frac{5\pi}{4} \) и \( \theta_2 = \frac{3\pi}{4} \).
   \( \theta_1 - \theta_2 = \frac{5\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \).
   \( \frac{r_1}{r_2} = \frac{8}{2} = 4 \).
   Итого: \( 4(\cos{\frac{\pi}{2}} + i\sin{\frac{\pi}{2}}) \).
   Так как \( \cos{\frac{\pi}{2}} = 0 \) и \( \sin{\frac{\pi}{2}} = 1 \), результат: \( 4(0 + i\cdot1) = 4i \).

Ответ: 1) \( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \), 2) \( 4i \)