516. Выполните действия: а) (5a−b)/a : (b−a)/a; б) a²/(a+b) : (a²−ab)/(a+b); в) (x−y)/(xy+x) : (x²−y²)/(2x²+xy); г) (x²+xy+y²)/(x+y) : (x³−y³)/x²; д) (x²+5x+6)/x : (x+3)/x; е) (x⁴−5x²+6)/x² : (x²−2)/x⁴.

Решение.

Деление дробей заменяем умножением на обратную дробь, затем раскладываем многочлены на множители.

а) \(\frac{5a-b}{a}:\frac{b-a}{a}=\frac{5a-b}{a}\cdot\frac{a}{b-a}=\frac{5a-b}{b-a}\).

Ответ: \(\frac{5a-b}{b-a}\).

б) \(\frac{a^2}{a+b}:\frac{a^2-ab}{a+b}=\frac{a^2}{a+b}\cdot\frac{a+b}{a^2-ab}=\frac{a^2}{a(a-b)}=\frac{a}{a-b}\).

Ответ: \(\frac{a}{a-b}\).

в) \(\frac{x-y}{xy+x}:\frac{x^2-y^2}{2x^2+xy}=\frac{x-y}{x(y+1)}\cdot\frac{x(2x+y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{2x+y}{(y+1)(x+y)}\).

Ответ: \(\frac{2x+y}{(y+1)(x+y)}\).

г) \(\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}:\frac{x^3-y^3}{x^2}=\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}\cdot\frac{x^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}=\frac{x^2}{(x+y)(x-y)}=\frac{x^2}{x^2-y^2}\).

Ответ: \(\frac{x^2}{x^2-y^2}\).

д) \(\frac{x^2+5x+6}{x}:\frac{x+3}{x}=\frac{(x+2)(x+3)}{x}\cdot\frac{x}{x+3}=x+2\).

Ответ: \(x+2\).

е) \(\frac{x^4-5x^2+6}{x^2}:\frac{x^2-2}{x^4}=\frac{(x^2-2)(x^2-3)}{x^2}\cdot\frac{x^4}{x^2-2}=x^2(x^2-3)\).

Ответ: \(x^2(x^2-3)\).