51. Найти наибольший общий делитель чисел 111111111 и 111...111 (сто раз повторяется единица).

Решение:

Пусть первое число \( A = 111111111 \). Это число можно записать как \( A = \frac{10^9 - 1}{9} \).

Второе число \( B \) состоит из ста единиц. Это число можно записать как \( B = \frac{10^{100} - 1}{9} \).

Мы ищем наибольший общий делитель (НОД) чисел \( A \) и \( B \). Используем свойство НОД для чисел вида \( \frac{10^n - 1}{9} \): \( \text{НОД}( \frac{10^a - 1}{9}, \frac{10^b - 1}{9} ) = \frac{10^{\text{НОД}(a, b)} - 1}{9} \).

В нашем случае \( a = 9 \) и \( b = 100 \).

Найдём НОД чисел 9 и 100:

\( 9 = 3^2 \)

\( 100 = 2^2 \cdot 5^2 \)

Числа 9 и 100 взаимно просты, их наибольший общий делитель равен 1: \( \text{НОД}(9, 100) = 1 \).

Следовательно, наибольший общий делитель данных чисел будет:

\[ \text{НОД}(A, B) = \frac{10^{\text{НОД}(9, 100)} - 1}{9} = \frac{10^1 - 1}{9} = \frac{10 - 1}{9} = \frac{9}{9} = 1 \]

Число 1 состоит из одной единицы.

Ответ: 1.