509. Постройте на координатной плоскости четырёхугольник ABCD, если А(-10; -2), B(-2; -2), C(-2; -6), D(-10; -6). Является ли он прямоугольником? квадратом? Найдите периметр и площадь этого четырёхугольника, если единичный отрезок равен 1 см. Проведите отрезки АС и BD и найдите координаты точки пересечения Е этих отрезков.

Пояснение:

Для построения четырёхугольника нужно отметить заданные точки на координатной плоскости и соединить их в указанном порядке. Чтобы определить, является ли фигура прямоугольником или квадратом, нужно проверить равенство сторон и углов. Периметр – это сумма длин всех сторон, а площадь – произведение смежных сторон (для прямоугольника).

Решение:

1. Шаг 1: Построение четырёхугольника ABCD.
   
   • Точка A(-10; -2)
   • Точка B(-2; -2)
   • Точка C(-2; -6)
   • Точка D(-10; -6)
   • Соединяем точки A-B, B-C, C-D, D-A.
2. Шаг 2: Определение типа четырёхугольника.
   
   • Найдем длину стороны AB: так как y-координаты одинаковы, длина равна разности x-координат: |-2 - (-10)| = |-2 + 10| = 8.
   • Найдем длину стороны BC: так как x-координаты одинаковы, длина равна разности y-координат: |-6 - (-2)| = |-6 + 2| = |-4| = 4.
   • Найдем длину стороны CD: так как y-координаты одинаковы, длина равна разности x-координат: |-10 - (-2)| = |-10 + 2| = |-8| = 8.
   • Найдем длину стороны DA: так как x-координаты одинаковы, длина равна разности y-координат: |-2 - (-6)| = |-2 + 6| = |4| = 4.
   • Стороны AB = CD = 8, BC = DA = 4.
   • Так как стороны параллельны осям координат, углы между ними прямые (90 градусов).
   • Следовательно, ABCD – прямоугольник.
   • Так как смежные стороны AB (8) и BC (4) не равны, ABCD не является квадратом.
3. Шаг 3: Нахождение периметра.
   
   • Периметр P = 2 * (AB + BC) = 2 * (8 + 4) = 2 * 12 = 24 см.
4. Шаг 4: Нахождение площади.
   
   • Площадь S = AB * BC = 8 * 4 = 32 см².
5. Шаг 5: Нахождение точки пересечения диагоналей AC и BD.
   
   • Точка пересечения диагоналей прямоугольника является серединой каждой диагонали.
   • Найдем середину диагонали AC: x = (-10 + -2) / 2 = -12 / 2 = -6. y = (-2 + -6) / 2 = -8 / 2 = -4. Точка E = (-6; -4).
   • Проверим середину диагонали BD: x = (-2 + -10) / 2 = -12 / 2 = -6. y = (-2 + -6) / 2 = -8 / 2 = -4. Точка E = (-6; -4).

Ответ: Четырёхугольник ABCD является прямоугольником. Периметр равен 24 см. Площадь равна 32 см². Координаты точки пересечения диагоналей E: (-6; -4).