502 Производится серия из 150 испытаний Бернулли с вероятностью успеха p = 0,4 в одном испытании. С помощью нормального приближения оцените

Решение:

Это задача на применение теоремы Муавра-Лапласа (нормальное приближение биномиального распределения).

У нас есть:

• Число испытаний \( n = 150 \).
• Вероятность успеха в одном испытании \( p = 0,4 \).
• Вероятность неудачи \( q = 1 - p = 1 - 0,4 = 0,6 \).

Биномиальное распределение \( B(n, p) \) можно приближенно считать нормальным распределением \( N(\mu, \sigma^2) \) с параметрами:

• Математическое ожидание: \( \mu = np = 150 \cdot 0,4 = 60 \).
• Дисперсия: \( \sigma^2 = npq = 150 \cdot 0,4 \cdot 0,6 = 60 \cdot 0,6 = 36 \).
• Стандартное отклонение: \( \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{36} = 6 \).

Для использования нормального приближения, условие \( np > 5 \) и \( nq > 5 \) должно выполняться. В данном случае \( 60 > 5 \) и \( 150 \cdot 0,6 = 90 > 5 \), так что приближение допустимо.

Если задание подразумевало оценку вероятности какого-то события (например, количество успехов в определённом диапазоне), то эту оценку следует провести. Однако, само условие задачи не указано, что именно нужно оценить (например, "оцените вероятность того, что число успехов будет больше 70").

Предполагая, что нужно оценить параметры распределения или дать общую характеристику:

Математическое ожидание числа успехов равно 60. Стандартное отклонение равно 6.

Если бы требовалось найти, например, вероятность того, что число успехов \( k \) находится в интервале \( [k_1, k_2] \), то мы бы использовали поправку на непрерывность:

\( P(k_1 \le k \le k_2) \approx P(k_1 - 0.5 \le X \le k_2 + 0.5) \), где \( X \) — нормально распределённая случайная величина.

Без конкретного вопроса, мы можем только указать параметры нормального приближения.

Ответ: Приближенное нормальное распределение имеет математическое ожидание \( \mu = 60 \) и стандартное отклонение \( \sigma = 6 \).