5. Запишите в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь: а) 4,(7); б) 1,(45); в) 0,2(7); г) 0,3(14).

Решение:

а) 4,(7)

1. Пусть \( x = 4,777... \)
2. Умножим на 10: \( 10x = 47,777... \)
3. Вычтем первое уравнение из второго: \( 10x - x = 47,777... - 4,777... \)
4. \( 9x = 43 \)
5. \( x = \frac{43}{9} \)

б) 1,(45)

1. Пусть \( x = 1,454545... \)
2. Умножим на 100: \( 100x = 145,454545... \)
3. Вычтем первое уравнение из второго: \( 100x - x = 145,454545... - 1,454545... \)
4. \( 99x = 144 \)
5. \( x = \frac{144}{99} = \frac{16}{11} \)

в) 0,2(7)

1. Пусть \( x = 0,2777... \)
2. Умножим на 10: \( 10x = 2,777... \)
3. Умножим на 100: \( 100x = 27,777... \)
4. Вычтем второе уравнение из третьего: \( 100x - 10x = 27,777... - 2,777... \)
5. \( 90x = 25 \)
6. \( x = \frac{25}{90} = \frac{5}{18} \)

г) 0,3(14)

1. Пусть \( x = 0,3141414... \)
2. Умножим на 10: \( 10x = 3,141414... \)
3. Умножим на 1000: \( 1000x = 314,141414... \)
4. Вычтем второе уравнение из третьего: \( 1000x - 10x = 314,141414... - 3,141414... \)
5. \( 990x = 311 \)
6. \( x = \frac{311}{990} \)

Ответ: а) \(\frac{43}{9}\); б) \(\frac{16}{11}\); в) \(\frac{5}{18}\); г) \(\frac{311}{990}\).