5. Записать разложение Бинома: (x-3y)⁶

Решение:

Для разложения бинома \( (x-3y)^6 \) по формуле бинома Ньютона:

\[ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]

В нашем случае \( a = x \), \( b = -3y \), \( n = 6 \).

Разложение будет выглядеть так:

\[ (x - 3y)^6 = \binom{6}{0} x^6 (-3y)^0 + \binom{6}{1} x^5 (-3y)^1 + \binom{6}{2} x^4 (-3y)^2 + \binom{6}{3} x^3 (-3y)^3 + \binom{6}{4} x^2 (-3y)^4 + \binom{6}{5} x^1 (-3y)^5 + \binom{6}{6} x^0 (-3y)^6 \]

Вычислим биномиальные коэффициенты \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) и степени:

• \( \binom{6}{0} = 1 \); \( (-3y)^0 = 1 \)


• \( \binom{6}{1} = 6 \); \( (-3y)^1 = -3y \)


• \( \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \); \( (-3y)^2 = 9y^2 \)


• \( \binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \); \( (-3y)^3 = -27y^3 \)


• \( \binom{6}{4} = \binom{6}{2} = 15 \); \( (-3y)^4 = 81y^4 \)


• \( \binom{6}{5} = \binom{6}{1} = 6 \); \( (-3y)^5 = -243y^5 \)


• \( \binom{6}{6} = 1 \); \( (-3y)^6 = 729y^6 \)

Теперь подставим значения обратно в разложение:

\[ (x - 3y)^6 = 1 \cdot x^6 \cdot 1 + 6 \cdot x^5 \cdot (-3y) + 15 \cdot x^4 \cdot (9y^2) + 20 \cdot x^3 \cdot (-27y^3) + 15 \cdot x^2 \cdot (81y^4) + 6 \cdot x \cdot (-243y^5) + 1 \cdot 1 \cdot (729y^6) \]

Упростим:

\[ (x - 3y)^6 = x^6 - 18x^5y + 135x^4y^2 - 540x^3y^3 + 1215x^2y^4 - 1458xy^5 + 729y^6 \]

Ответ: x⁶ - 18x⁵y + 135x⁴y² - 540x³y³ + 1215x²y⁴ - 1458xy⁵ + 729y⁶.