5. Задание: На рис. 1-4 показаны четыре типа соединений трех одинаковых сопротивлений. Установите правильное соотношение общих сопротивлений этих участков.

Решение:

Будем считать, что каждое одинаковое сопротивление имеет сопротивление \( R \). Тогда:

1. Схема 1: Три последовательно соединённых сопротивления. Общее сопротивление \( R_1 = R + R + R = 3R \).


2. Схема 2: Два параллельных участка, каждый из которых состоит из двух последовательных сопротивлений. Сопротивление одного такого участка \( R_{п = R + R = 2R} \). Два таких участка соединены параллельно, поэтому общее сопротивление \( R_2 = \frac{R_{п} \cdot R_{п}}{R_{п} + R_{п}} = \frac{2R \cdot 2R}{2R + 2R} = \frac{4R^2}{4R} = R \).


3. Схема 3: Два последовательных участка, каждый из которых состоит из двух параллельных сопротивлений. Сопротивление одного такого участка \( R_{п = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R^2}{2R} = \frac{R}{2} } \). Два таких участка соединены последовательно, поэтому общее сопротивление \( R_3 = R_{п} + R_{п} = \frac{R}{2} + \frac{R}{2} = R \).


4. Схема 4: Три параллельно соединённых сопротивления. Общее сопротивление \( R_4 = \frac{R}{3} \).

Теперь сравним полученные сопротивления:

• \( R_1 = 3R \)


• \( R_2 = R \)


• \( R_3 = R \)


• \( R_4 = \frac{R}{3} \)

При \( R > 0 \) имеем:

\( 3R > R \) (т.е. \( R_1 > R_2 \) и \( R_1 > R_3 \)).

\( R > \frac{R}{3} \) (т.е. \( R_2 > R_4 \) и \( R_3 > R_4 \)).

Таким образом, наибольшее сопротивление у схемы 1, затем идут схемы 2 и 3 (они равны), а наименьшее — у схемы 4.

С учётом вариантов ответа, мы ищем соотношение, где \( R_1 > R_2 = R_3 > R_4 \).

Среди предложенных вариантов есть только одно, которое соответствует этому условию, если принять, что \( R_2 \) и \( R_3 \) могут быть равны, и их порядок может быть любым. Варианты 2 и 5 выглядят похожими, но в варианте 2 \( R_1 > R_2 < R_3 > R_4 \) и в варианте 5 \( R_1 < R_2 < R_3 > R_4 \).

Поскольку \( R_2 = R_3 \), а \( R_1 = 3R \) и \( R_4 = R/3 \), то правильное соотношение: \( R_1 > R_2 = R_3 > R_4 \).

Вариант 2: \( R_1 > R_2 < R_3 > R_4 \) - не подходит, так как \( R_2 = R_3 \).

Вариант 5: \( R_1 < R_2 < R_3 > R_4 \) - не подходит, так как \( R_1 \) наибольшее.

Примечание: Если рассматривать варианты ответов, где < и > используются для строгого неравенства, то при \( R_2 = R_3 \) ни один из предложенных вариантов полностью не описывает ситуацию \( R_1 > R_2 = R_3 > R_4 \).

Однако, если интерпретировать варианты как примерное соотношение, то вариант 2 \( R_1 > R_2 < R_3 > R_4 \) может быть близок, если допустить \( R_2 < R_3 \) или \( R_2 = R_3 \) и \( R_3 > R_4 \). Но это неточно.

Пересмотрим варианты:

1. \( R_1 > R_2 < R_3 < R_4 \) - неверно.

2. \( R_1 > R_2 < R_3 > R_4 \) - возможно, если \( R_2 \) и \( R_3 \) равны, но запись \( < R_3 \) смущает.

3. \( R_1 < R_2 < R_3 < R_4 \) - неверно.

4. \( R_1 > R_2 > R_3 > R_4 \) - неверно, т.к. \( R_2 = R_3 \).

5. \( R_1 < R_2 < R_3 > R_4 \) - неверно, т.к. \( R_1 \) наибольшее.

6. \( R_1 < R_2 > R_3 > R_4 \) - неверно.

Наиболее вероятный ответ, учитывая, что \( R_2 = R_3 \) и \( R_1 \) самое большое, а \( R_4 \) самое маленькое, это если бы был вариант \( R_1 > R_2 = R_3 > R_4 \).

Если предположить, что допустимо \( R_2 \) и \( R_3 \) равны, и варианты могут описывать одну из возможных ситуаций, то вариант 2: \( R_1 > R_2 \) и \( R_3 > R_4 \), и \( R_2 < R_3 \) (что неверно) или \( R_2 = R_3 \).

Проверим ещё раз: \( R_1=3R, R_2=R, R_3=R, R_4=R/3 \).

Значит, \( 3R > R = R > R/3 \).

Если рассматривать вариант 2: \( R_1 > R_2 < R_3 > R_4 \). Это могло бы означать, что \( R_1 \) больше \( R_2 \), \( R_3 \) больше \( R_4 \), и \( R_2 \) меньше \( R_3 \). Но у нас \( R_2 = R_3 \).

Если предположить, что < и > могут означать <=\ и >=, то вариант 2: \( R_1 \ge R_2 \), \( R_3 \ge R_4 \) и \( R_2 \le R_3 \). Тогда \( R_1 \ge R_2 \) (3R >= R - верно), \( R_3 \ge R_4 \) (R >= R/3 - верно), \( R_2 \le R_3 \) (R <= R - верно). То есть вариант 2 становится правдоподобным при такой интерпретации.

Наиболее корректный ответ, который соответствует расчётам: 1 > 2 = 3 > 4

Среди предложенных вариантов, вариант 2 является наименее противоречивым, если допустить, что \( R_2 \) и \( R_3 \) могут быть равны, и запись \( < R_3 \) допускает равенство, а \( R_1 \) самое большое, \( R_4 \) самое маленькое.

Ответ: 2.