5^x + 5^(1-x) >= 6

Решение:

Это показательное неравенство. Перепишем его, используя свойства степеней:

\[ 5^x + \frac{5}{5^x} \ge 6 \]

Сделаем замену переменной. Пусть \( t = 5^x \). Так как \( 5^x \) всегда больше нуля, то \( t > 0 \).

\[ t + \frac{5}{t} \ge 6 \]

Умножим обе части неравенства на \( t \) (так как \( t > 0 \), знак неравенства не меняется):

\[ t^2 + 5 \ge 6t \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ t^2 - 6t + 5 \ge 0 \]

Решим квадратное уравнение \( t^2 - 6t + 5 = 0 \) для нахождения корней:

\[ (t - 1)(t - 5) = 0 \]

Корни: \( t_1 = 1 \) и \( t_2 = 5 \).

Парабола \( y = t^2 - 6t + 5 \) направлена ветвями вверх, поэтому неравенство \( t^2 - 6t + 5 \ge 0 \) выполняется при \( t \le 1 \) или \( t \ge 5 \).

Теперь вернёмся к замене \( t = 5^x \):

1. \( 5^x \le 1 \)

\[ 5^x \le 5^0 \]

Так как основание степени \( 5 > 1 \), то показатели степени можно сравнить:

\[ x \le 0 \]

2. \( 5^x \ge 5 \)

\[ 5^x \ge 5^1 \]

Так как основание степени \( 5 > 1 \), то показатели степени можно сравнить:

\[ x \ge 1 \]

Объединяя оба случая, получаем решение неравенства.

Ответ: \( x \in (-\infty; 0] \cup [1; \infty) \).