5)Вычислите: Z1=(2 + i);Z2=(-1 + 3i); a). Z1+Z2 б). Z1-Z2 в). Z1*Z2 г). Z1:Z2 д) Z3

Решение:

Даны комплексные числа \( Z_1 = (2 + i) \) и \( Z_2 = (-1 + 3i) \).

а) Найдем сумму \( Z_1 + Z_2 \):

\[ Z_1 + Z_2 = (2 + i) + (-1 + 3i) = (2 - 1) + (1 + 3)i = 1 + 4i \]

б) Найдем разность \( Z_1 - Z_2 \):

\[ Z_1 - Z_2 = (2 + i) - (-1 + 3i) = 2 + i + 1 - 3i = (2 + 1) + (1 - 3)i = 3 - 2i \]

в) Найдем произведение \( Z_1 \cdot Z_2 \):

\[ Z_1 \cdot Z_2 = (2 + i)(-1 + 3i) = 2(-1) + 2(3i) + i(-1) + i(3i) = -2 + 6i - i + 3i^2 \]

Так как \( i^2 = -1 \), то:

\[ -2 + 6i - i + 3(-1) = -2 + 5i - 3 = -5 + 5i \]

г) Найдем частное \( Z_1 : Z_2 \):

\[ \frac{Z_1}{Z_2} = \frac{2 + i}{-1 + 3i} \]

Чтобы разделить комплексные числа, умножим числитель и знаменатель на сопряженное число к знаменателю:

\[ \frac{2 + i}{-1 + 3i} \cdot \frac{-1 - 3i}{-1 - 3i} = \frac{(2 + i)(-1 - 3i)}{(-1)^2 + (3)^2} = \frac{-2 - 6i - i - 3i^2}{1 + 9} = \frac{-2 - 7i - 3(-1)}{10} = \frac{-2 - 7i + 3}{10} = \frac{1 - 7i}{10} = \frac{1}{10} - \frac{7}{10}i \]

д) Найдем \( Z_1^3 \):

\[ Z_1^3 = (2 + i)^3 \]

Используем формулу куба суммы: \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \).

\[ (2 + i)^3 = 2^3 + 3(2^2)(i) + 3(2)(i^2) + i^3 \]

Так как \( i^2 = -1 \) и \( i^3 = i^2 · i = -i \), то:

\[ 8 + 3(4)(i) + 6(-1) + (-i) = 8 + 12i - 6 - i = (8 - 6) + (12 - 1)i = 2 + 11i \]

Ответ:

а) \( Z_1 + Z_2 = 1 + 4i \)

б) \( Z_1 - Z_2 = 3 - 2i \)

в) \( Z_1 \cdot Z_2 = -5 + 5i \)

г) \( Z_1 : Z_2 = \frac{1}{10} - \frac{7}{10}i \)

д) \( Z_1^3 = 2 + 11i \)