5. Вычислите определенный интеграл: $$\int_{0}^{2} (3x^2 + 1)dx$$.

Решение:

Для вычисления определенного интеграла \( \int_{0}^{2} (3x^2 + 1)dx \), сначала найдем первообразную функции \( f(x) = 3x^2 + 1 \).

1. Найдем первообразную для \( 3x^2 \): \( \int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \).
2. Найдем первообразную для \( 1 \): \( \int 1 dx = x \).
3. Таким образом, первообразная \( F(x) \) для \( f(x) = 3x^2 + 1 \) равна \( F(x) = x^3 + x + C \), где \( C \) — произвольная постоянная.
4. Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \).
5. Подставим пределы интегрирования \( a = 0 \) и \( b = 2 \):
   \[ \int_{0}^{2} (3x^2 + 1)dx = F(2) - F(0) = (2^3 + 2) - (0^3 + 0) \]
6. Вычислим значения: \( F(2) = 8 + 2 = 10 \) и \( F(0) = 0 + 0 = 0 \).
7. Следовательно, \( \int_{0}^{2} (3x^2 + 1)dx = 10 - 0 = 10 \).

Ответ: 10.