5. Вычислите определенный интеграл: ∫ (3x² + 1)/x dx

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_{0}^{2} \frac{3x^2 + 1}{x} dx \) необходимо сначала упростить подынтегральную функцию:

\( \frac{3x^2 + 1}{x} = \frac{3x^2}{x} + \frac{1}{x} = 3x + \frac{1}{x} \)

Теперь проинтегрируем полученное выражение:

\( \int (3x + \frac{1}{x}) dx = \int 3x dx + \int \frac{1}{x} dx \)

Найдём первообразную:

\( \int 3x dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3x^2}{2} \)

\( \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| \)

Таким образом, первообразная равна \( F(x) = \frac{3x^2}{2} + \ln|x| \).

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

\( \int_{0}^{2} (3x + \frac{1}{x}) dx = [\frac{3x^2}{2} + \ln|x|]_{0}^{2} \)

Однако, при \( x=0 \) функция \( \frac{1}{x} \) имеет разрыв, и определённый интеграл в данном случае является несобственным интегралом.

Рассмотрим предел:

\( \lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{2} (3x + \frac{1}{x}) dx = \lim_{a \to 0^+} [\frac{3x^2}{2} + \ln|x|]_{a}^{2} \)

\( = \lim_{a \to 0^+} ((\frac{3(2)^2}{2} + \ln|2|) - (\frac{3a^2}{2} + \ln|a|)) \)

\( = \lim_{a \to 0^+} (\frac{12}{2} + \ln 2 - \frac{3a^2}{2} - \ln a) \)

\( = 6 + \ln 2 - \lim_{a \to 0^+} (\frac{3a^2}{2} + \ln a) \)

Так как \( \lim_{a \to 0^+} \ln a = -\infty \), то \( \lim_{a \to 0^+} (\frac{3a^2}{2} + \ln a) = -\infty \).

Следовательно, \( 6 + \ln 2 - (-\infty) = \infty \).

Интеграл расходится.

Примечание: Вероятно, в условии задания была опечатка, и интеграл должен был быть от другого значения, где подынтегральная функция не имеет разрыва в пределах интегрирования (например, от 1 до 2).

Ответ: Интеграл расходится.