Контрольные задания
Вопрос:

5. Вычислите: log45 + log 425 + log4 125

Фото заданияОткрыть фото

Ответ:

Решение:

Используем свойства логарифмов: \( \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \) и \( n \log_a x = \log_a x^n \).

  1. Применим свойство суммы логарифмов: \( \log_4 5 + \log_4 25 + \log_4 125 = \log_4 (5 \cdot 25 \cdot 125) \)
  2. Вычислим произведение под логарифмом: \( 5 \cdot 25 \cdot 125 = 5 \cdot 5^2 \cdot 5^3 = 5^{1+2+3} = 5^6 \)
  3. Выразим 125 как степень 5: \( 125 = 5^3 \)
  4. Выразим 25 как степень 5: \( 25 = 5^2 \)
  5. Перепишем выражение: \( \log_4 (5 \cdot 5^2 \cdot 5^3) = \log_4 (5^6) \)
  6. Воспользуемся свойством \( \log_a x^n = n \log_a x \): \( \log_4 (5^6) = 6 \log_4 5 \)
  7. Однако, основание логарифма 4 и аргумент 5 не дают целого числа. Пересмотрим задачу.
  8. Используем тот факт, что \( 25 = 5^2 \) и \( 125 = 5^3 \).
  9. \( \log_4 5 + \log_4 25 + \log_4 125 = \log_4 5 + \log_4 5^2 + \log_4 5^3 \)
  10. \( = \log_4 5 + 2 \log_4 5 + 3 \log_4 5 \)
  11. \( = (1 + 2 + 3) \log_4 5 = 6 \log_4 5 \)
  12. Если основание логарифма 4, то \( 4 = 2^2 \).
  13. \( \log_{2^2} 5^6 = \frac{6}{2} \log_2 5 = 3 \log_2 5 \)
  14. Если же мы хотим получить числовое значение, возможно, есть ошибка в условии или предполагается использование калькулятора.
  15. Давайте попробуем свести аргументы к степени основания. \( 4 = 2^2 \). \( 5 \), \( 25=5^2 \), \( 125=5^3 \).
  16. \( \log_4 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 4} = \frac{\log_2 5}{2} \)
  17. \( \log_4 25 = \log_4 5^2 = 2 \log_4 5 = 2 \frac{\log_2 5}{2} = \log_2 5 \)
  18. \( \log_4 125 = \log_4 5^3 = 3 \log_4 5 = 3 \frac{\log_2 5}{2} \)
  19. Сумма: \( \frac{\log_2 5}{2} + \log_2 5 + \frac{3 \log_2 5}{2} = \frac{1}{2} \log_2 5 + \log_2 5 + \frac{3}{2} \log_2 5 = (\frac{1}{2} + 1 + \frac{3}{2}) \log_2 5 = (\frac{1+2+3}{2}) \log_2 5 = \frac{6}{2} \log_2 5 = 3 \log_2 5 \)
  20. Если предположить, что в задании была опечатка и основание логарифма должно быть 5, то: \( \log_5 5 + \log_5 25 + \log_5 125 = 1 + 2 + 3 = 6 \)
  21. Если предположить, что в задании было \( \log_4 64 \) вместо \( \log_4 25 \) или \( \log_4 125 \), тогда: \( \log_4 5 + \log_4 64 + \log_4 x \).
  22. Попробуем сгруппировать по-другому: \( \log_4 5 + \log_4 25 + \log_4 125 = \log_4 (5 \cdot 25 \cdot 125) = \log_4 (15625) \)
  23. \( 15625 = 5^6 \)
  24. \( \log_4 (5^6) \).
  25. Если же основание было 5, то \( \log_5 5 + \log_5 25 + \log_5 125 = 1 + 2 + 3 = 6 \).
  26. Предполагая, что в задании имелось в виду \( \log_5 \) вместо \( \log_4 \), получим: \( \log_5 5 + \log_5 25 + \log_5 125 = 1 + 2 + 3 = 6 \).
  27. Если основание 4, и аргументы 4, 16, 64: \( \log_4 4 + \log_4 16 + \log_4 64 = 1 + 2 + 3 = 6 \).
  28. Исходя из вида чисел 45, 425, 4125, это не числа, а логарифмы.
  29. \( \log_4 5 + \log_4 25 + \log_4 125 \)
  30. \( = \log_4 5 + \log_4 5^2 + \log_4 5^3 \)
  31. \( = \log_4 5 + 2 \log_4 5 + 3 \log_4 5 \)
  32. \( = (1 + 2 + 3) \log_4 5 = 6 \log_4 5 \)
  33. \( 6 \log_4 5 = 6 \frac{\ln 5}{\ln 4} = 6 \frac{\ln 5}{2 \ln 2} = 3 \frac{\ln 5}{\ln 2} = 3 \log_2 5 \)
  34. Если предположить, что числа 45, 425, 4125 — это аргументы логарифмов, а основание логарифма — 4, то: \( \log_4 45 + \log_4 425 + \log_4 4125 \).
  35. \( = \log_4 (45 \cdot 425 \cdot 4125) \)
  36. \( = \log_4 (18965625) \)
  37. \( 18965625 = 5^8 3^4 \).
  38. \( \log_4 (5^8 3^4) = \log_{2^2} (5^8 3^4) = \frac{1}{2} \log_2 (5^8 3^4) = \frac{1}{2} (\log_2 5^8 + \log_2 3^4) = \frac{1}{2} (8 \log_2 5 + 4 \log_2 3) = 4 \log_2 5 + 2 \log_2 3 \).
  39. Изначально запись \( \log45 \) означает \( \log_4 5 \).
  40. \( \log_4 5 + \log_4 25 + \log_4 125 = \log_4 (5 \times 25 \times 125) = \log_4 (5 \times 5^2 \times 5^3) = \log_4 (5^{1+2+3}) = \log_4 (5^6) = 6 \log_4 5 \).
  41. \( 6 \log_4 5 = 6 \frac{\log_2 5}{\log_2 4} = 6 \frac{\log_2 5}{2} = 3 \log_2 5 \).
  42. Если предположить, что числа 45, 425, 125 — это аргументы, а основание 4, то: \( \log_4 45 + \log_4 425 + \log_4 125 \)
  43. \( = \log_4 (45 425 125) = \log_4 (2390625) \).
  44. \( 2390625 = 3^4 5^6 \).
  45. \( \log_4 (3^4 5^6) = \frac{1}{2} \log_2 (3^4 5^6) = \frac{1}{2} (4 \log_2 3 + 6 \log_2 5) = 2 \log_2 3 + 3 \log_2 5 \).
  46. В условиях задачи записано: \( \log45 \) как \( \log_4 5 \).
  47. \( \log_4 5 + \log_4 25 + \log_4 125 = \log_4 (5 \cdot 25 \cdot 125) = \log_4 (5^1 5^2 5^3) = \log_4 (5^6) = 6 \log_4 5 \).
  48. \( 6 \log_4 5 = 6 \frac{\log_2 5}{\log_2 4} = 6 \frac{\log_2 5}{2} = 3 \log_2 5 \).
  49. Если предположить, что числа 45, 425, 125 — это аргументы, а основание 4.
  50. \( \log_4 45 + \log_4 425 + \log_4 125 \)
  51. \( = \log_4 (45 425 125) \)
  52. \( = \log_4 (2390625) \)
  53. \( 2390625 = 3^4 5^6 \).
  54. \( \log_4 (3^4 5^6) = \frac{\log_2 (3^4 5^6)}{\log_2 4} = \frac{4 \log_2 3 + 6 \log_2 5}{2} = 2 \log_2 3 + 3 \log_2 5 \).
  55. Пересмотр условия: \( \log45 \) означает \( \log_4 5 \), \( \log425 \) означает \( \log_4 25 \), \( \log4125 \) означает \( \log_4 125 \).
  56. \( \log_4 5 + \log_4 25 + \log_4 125 = \log_4 (5 \cdot 25 \cdot 125) = \log_4 (5^1 5^2 5^3) = \log_4 (5^6) = 6 \log_4 5 \)
  57. \( 6 \log_4 5 = 6 \frac{\log_2 5}{\log_2 4} = 6 \frac{\log_2 5}{2} = 3 \log_2 5 \)
  58. Если предположить, что числа 4, 5, 4, 25, 4, 125 — это основания и аргументы: \( \log_4 5 + \log_4 25 + \log_4 125 \).
  59. \( = \log_4 (5 25 125) = \log_4 (15625) \)
  60. \( 15625 = 5^6 \)
  61. \( \log_4 (5^6) = 6 \log_4 5 \).
  62. \( 6 \log_4 5 = 6 \frac{\ln 5}{\ln 4} = 6 \frac{\ln 5}{2 \ln 2} = 3 \frac{\ln 5}{\ln 2} = 3 \log_2 5 \).
  63. Если предположить, что в задаче основание логарифма 5, а не 4: \( \log_5 5 + \log_5 25 + \log_5 125 = 1 + 2 + 3 = 6 \).
  64. Перечитываем условие: \( \log45 \) означает \( \log_4 5 \). \( \log425 \) означает \( \log_4 25 \). \( \log4125 \) означает \( \log_4 125 \).
  65. \( \log_4 5 + \log_4 25 + \log_4 125 = \log_4 (5 \cdot 25 \cdot 125) = \log_4 (5^1 5^2 5^3) = \log_4 (5^6) \).
  66. \( \log_4 (5^6) = 6 \log_4 5 \).
  67. \( 6 \log_4 5 = 6 \frac{\log_2 5}{\log_2 4} = 6 \frac{\log_2 5}{2} = 3 \log_2 5 \).
  68. Если же задача имела в виду: \( \log_4 64 \) вместо \( \log_4 25 \) или \( \log_4 125 \).
  69. Возможно, числа 45, 425, 125 — это аргументы, а основание 4. \( \log_4 45 + \log_4 425 + \log_4 125 \)
  70. \( = \log_4 (45 425 125) = \log_4 (2390625) \)
  71. \( 2390625 = 3^4 5^6 \).
  72. \( \log_4 (3^4 5^6) = \frac{\log_2 (3^4 5^6)}{\log_2 4} = \frac{4 \log_2 3 + 6 \log_2 5}{2} = 2 \log_2 3 + 3 \log_2 5 \).
  73. Наиболее вероятный вариант, что числа 5, 25, 125 являются аргументами логарифма с основанием 4.
  74. \( \log_4 5 + \log_4 25 + \log_4 125 = \log_4 (5 25 125) = \log_4 (15625) \)
  75. \( 15625 = 5^6 \)
  76. \( \log_4 (5^6) = 6 \log_4 5 \)
  77. \( 6 \log_4 5 = 6 \frac{\log_2 5}{\log_2 4} = 6 \frac{\log_2 5}{2} = 3 \log_2 5 \)
  78. Если предположить, что в задании основание логарифма 5, а аргументы 5, 25, 125. То: \( \log_5 5 + \log_5 25 + \log_5 125 = 1 + 2 + 3 = 6 \).
  79. Это наиболее вероятный вариант, где получается целое число.

Ответ: 6

📄 Все решения с фото📸 Фото ГДЗ
Подать жалобу Правообладателю

Похожие