5. Вычислите: (25^15 * 243 * 13^68 * (13*10)^3 * 10^48) / (5^62 * 26^35 * 13^63 * 239 * 10^15). Вариант 3

Решение:

Для решения этого примера нужно привести все числа к простым множителям и использовать свойства степеней.

Разложим числа на простые множители:

• \( 25 = 5^2 \)
• \( 243 = 3^5 \)
• \( 13 \) — простое число
• \( 10 = 2 \cdot 5 \)
• \( 26 = 2 \cdot 13 \)
• \( 239 \) — простое число

Подставим разложения в выражение:

\( \frac{(5^2)^{15} \cdot 3^5 \cdot 13^{68} \cdot (2 \cdot 13)^3 \cdot (2 \cdot 5)^{48}}{5^{62} \cdot (2 \cdot 13)^{35} \cdot 13^{63} \cdot 239 \cdot (2 \cdot 5)^{15}} \)

Применим свойства степеней \( (a^m)^n = a^{mn} \) и \( (ab)^n = a^n b^n \):

\( \frac{5^{30} \cdot 3^5 \cdot 13^{68} \cdot 2^3 \cdot 13^3 \cdot 2^{48} \cdot 5^{48}}{5^{62} \cdot 2^{35} \cdot 13^{35} \cdot 13^{63} \cdot 239 \cdot 2^{15} \cdot 5^{15}} \)

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе:

Числитель: \( 2^{48+3} \cdot 3^5 \cdot 5^{30+48} \cdot 13^{68+3} = 2^{51} \cdot 3^5 \cdot 5^{78} \cdot 13^{71} \)

Знаменатель: \( 2^{35+15} \cdot 5^{62+15} \cdot 13^{35+63} \cdot 239 = 2^{50} \cdot 5^{77} \cdot 13^{98} \cdot 239 \)

Теперь разделим числитель на знаменатель, используя свойство \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\( \frac{2^{51} \cdot 3^5 \cdot 5^{78} \cdot 13^{71}}{2^{50} \cdot 5^{77} \cdot 13^{98} \cdot 239} = 2^{51-50} \cdot 3^5 \cdot 5^{78-77} \cdot 13^{71-98} \cdot \frac{1}{239} \)

\( = 2^1 \cdot 3^5 \cdot 5^1 \cdot 13^{-27} \cdot \frac{1}{239} \)

\( = \frac{2 \cdot 243 \cdot 5}{13^{27} \cdot 239} = \frac{2430}{13^{27} \cdot 239} \)

Это очень громоздкое число. Вероятно, в условии задачи была опечатка, либо ожидается именно такой ответ в виде дроби.

Ответ: \( \frac{2430}{239 \cdot 13^{27}} \)