5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 8x - x² - 2, y = x + 8.

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя линиями, сначала найдем точки их пересечения. Для этого приравняем правые части уравнений:

\[ 8x - x^2 - 2 = x + 8 \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ -x^2 + 8x - x - 2 - 8 = 0 \]\[ -x^2 + 7x - 10 = 0 \]

Умножим на -1 для удобства:

\[ x^2 - 7x + 10 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \]

Найдём корни:

\[ x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]\[ x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Точки пересечения по оси \( x \) — это \( x = 2 \) и \( x = 5 \).

Теперь вычислим площадь между кривыми, интегрируя разность функций от \( x_2 \) до \( x_1 \). На интервале \( [2, 5] \) парабола \( y = 8x - x^2 - 2 \) находится выше прямой \( y = x + 8 \). Для проверки, возьмём \( x = 3 \): \( 8(3) - 3^2 - 2 = 24 - 9 - 2 = 13 \), а \( 3 + 8 = 11 \). Значит, \( 8x - x^2 - 2 \) больше.

\[ \text{Площадь} = \int_{2}^{5} ((8x - x^2 - 2) - (x + 8)) dx \]\[ = \int_{2}^{5} (8x - x^2 - 2 - x - 8) dx \]\[ = \int_{2}^{5} (-x^2 + 7x - 10) dx \]

Вычислим определённый интеграл:

\[ = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{7x^2}{2} - 10x \right]_{2}^{5} \]

Подставим верхний предел:

\[ = \left( -\frac{5^3}{3} + \frac{7 \cdot 5^2}{2} - 10 \cdot 5 \right) = \left( -\frac{125}{3} + \frac{7 \cdot 25}{2} - 50 \right) = \left( -\frac{125}{3} + \frac{175}{2} - 50 \right) \]

Подставим нижний предел:

\[ = \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{7 \cdot 2^2}{2} - 10 \cdot 2 \right) = \left( -\frac{8}{3} + \frac{7 \cdot 4}{2} - 20 \right) = \left( -\frac{8}{3} + 14 - 20 \right) = \left( -\frac{8}{3} - 6 \right) \]

Вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:

\[ = \left( -\frac{125}{3} + \frac{175}{2} - 50 \right) - \left( -\frac{8}{3} - 6 \right) \]

Приведём к общему знаменателю (6):

\[ = -\frac{125 \cdot 2}{6} + \frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{50 \cdot 6}{6} + \frac{8 \cdot 2}{6} + \frac{6 \cdot 6}{6} \]

= \(\frac{-250 + 525 - 300 + 16 + 36}{6}\)

= \(\frac{-250 + 525 + 52 - 300}{6}\)

= \(\frac{275 + 52 - 300}{6}\)

= \(\frac{327 - 300}{6}\)

= \(\frac{27}{6}\)

Сократим дробь:

= \(\frac{9}{2}\) = 4.5

Ответ: 4.5