5. В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки M, N, T, H являются соответственно серединами сторон AB, BC, CD и AD. Угол NTH — прямой. Докажите, что MT = NH.

Решение:

Пусть ABCD — выпуклый четырёхугольник. M, N, T, H — середины сторон AB, BC, CD, AD соответственно.

1. Рассмотрим четырёхугольник MNT H. По теореме Фалеса, MN — средняя линия треугольника ABC, значит, MN || AC и \( MN = \frac{1}{2} AC \).
2. Аналогично, HT — средняя линия треугольника ADC, значит, HT || AC и \( HT = \frac{1}{2} AC \).
3. Из этого следует, что MN || HT и \( MN = HT \). Следовательно, MNT H — параллелограмм.
4. Аналогично, NH — средняя линия треугольника ABD, значит, NH || BD и \( NH = \frac{1}{2} BD \).
5. NT — средняя линия треугольника BCD, значит, NT || BD и \( NT = \frac{1}{2} BD \).
6. Из этого следует, что NH || NT и \( NH = NT \).
7. Поскольку MNT H — параллелограмм, то его диагонали равны. Диагонали параллелограмма MNT H — это MT и NH.
8. Следовательно, \( MT = NH \).
9. Условие, что угол NTH — прямой, означает, что диагонали параллелограмма MNT H перпендикулярны. Это будет верно, если четырёхугольник MNT H является ромбом.
10. Если MNT H — ромб, то все его стороны равны: \( MN = NT = TH = HM \).
11. Из \( NH = \frac{1}{2} BD \) и \( NT = \frac{1}{2} BD \), следует, что \( NH = NT \).
12. Из \( MN = \frac{1}{2} AC \) и \( HT = \frac{1}{2} AC \), следует, что \( MN = HT \).
13. Так как MNT H — параллелограмм, то \( MN = HT \) и \( NH = NT \).
14. Так как угол NTH — прямой, то диагонали параллелограмма MNT H перпендикулярны.
15. Рассмотрим треугольник NTH. Он прямоугольный. По теореме Пифагора: \( NH^2 = NT^2 + TH^2 \).
16. Из того, что MNT H — параллелограмм, имеем \( TH = MN \).
17. \( NH^2 = NT^2 + MN^2 \).
18. Из того, что \( MN = \frac{1}{2} AC \) и \( NT = \frac{1}{2} BD \), имеем \( NH^2 = (\frac{1}{2} BD)^2 + (\frac{1}{2} AC)^2 \)
19. \( NH^2 = \frac{1}{4} BD^2 + \frac{1}{4} AC^2 \)
20. \( 4NH^2 = BD^2 + AC^2 \)
21. Теперь рассмотрим диагональ MT. В параллелограмме MNT H, по теореме о диагоналях: \( MT^2 + NH^2 = 2(MN^2 + NT^2) \)
22. \( MT^2 + NH^2 = 2((\frac{1}{2} AC)^2 + (\frac{1}{2} BD)^2) \)
23. \( MT^2 + NH^2 = 2(\frac{1}{4} AC^2 + \frac{1}{4} BD^2) \)
24. \( MT^2 + NH^2 = \frac{1}{2} AC^2 + \frac{1}{2} BD^2 \)
25. Мы знаем, что \( 4NH^2 = BD^2 + AC^2 \), следовательно \( NH^2 = \frac{1}{4} (BD^2 + AC^2) \).
26. Подставим это в предыдущее уравнение: \( MT^2 + \frac{1}{4} (BD^2 + AC^2) = \frac{1}{2} AC^2 + \frac{1}{2} BD^2 \)
27. \( MT^2 = \frac{1}{2} AC^2 + \frac{1}{2} BD^2 - \frac{1}{4} AC^2 - \frac{1}{4} BD^2 \)
28. \( MT^2 = \frac{1}{4} AC^2 + \frac{1}{4} BD^2 \)
29. \( MT^2 = \frac{1}{4} (AC^2 + BD^2) \)
30. Мы получили \( NH^2 = \frac{1}{4} (AC^2 + BD^2) \) и \( MT^2 = \frac{1}{4} (AC^2 + BD^2) \).
31. Следовательно, \( MT^2 = NH^2 \).
32. Так как MT и NH — длины отрезков, они положительны, поэтому \( MT = NH \).

Доказано.