5. В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН – высота, BC =3, sin A = 1/6. Найдите АН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:\( \angle C = 90^{\circ} \). CH — высота, проведённая к гипотенузе AB.

По условию дано:

• \( BC = 3 \)
• \( \sin A = \frac{1}{6} \)

Нам нужно найти длину отрезка AH.

В прямоугольном треугольнике ABC, синус угла A определяется как отношение противолежащего катета BC к гипотенузе AB:

\( \sin A = \frac{BC}{AB} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{1}{6} = \frac{3}{AB} \)

Отсюда найдём длину гипотенузы AB:

\( AB = 3 \cdot 6 = 18 \)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH (так как CH — высота, \( \angle CHA = 90^{\circ} \)).

В треугольнике ABC, \( \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{1}{6})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{\sqrt{35}}{6} \).

В прямоугольном треугольнике ACH, косинус угла A определяется как отношение прилежащего катета AH к гипотенузе AC.

Сначала найдём AC:

\( \cos A = \frac{AC}{AB} \) (в треугольнике ABC)

\( \frac{\sqrt{35}}{6} = \frac{AC}{18} \)

\( AC = 18 \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = 3\sqrt{35} \)

Теперь в прямоугольном треугольнике ACH:

\( \cos A = \frac{AH}{AC} \)

\( \frac{\sqrt{35}}{6} = \frac{AH}{3\sqrt{35}} \)

\( AH = 3\sqrt{35} \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = \frac{3 \cdot 35}{6} = \frac{105}{6} = \frac{35}{2} = 17.5 \)

Альтернативный способ:

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{3}{1/6} = 18 \)

\( AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{18^2 - 3^2} = \sqrt{324 - 9} = \sqrt{315} = \sqrt{9 \cdot 35} = 3\sqrt{35} \)

Высота CH связана с катетами и гипотенузой соотношением:

\( CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{3\sqrt{35} \cdot 3}{18} = \frac{9\sqrt{35}}{18} = \frac{\sqrt{35}}{2} \)

В прямоугольном треугольнике ACH:

\( AH^2 = AC^2 - CH^2 = (3\sqrt{35})^2 - (\frac{\sqrt{35}}{2})^2 = 9 \cdot 35 - \frac{35}{4} = 315 - \frac{35}{4} = \frac{1260 - 35}{4} = \frac{1225}{4} \)

\( AH = \sqrt{\frac{1225}{4}} = \frac{35}{2} = 17.5 \)

Еще один способ:

Из подобия треугольников ABC, ACH, CBH:

\( AC^2 = AH \cdot AB \)

Мы нашли \( AC = 3\sqrt{35} \) и \( AB = 18 \).

\( (3\sqrt{35})^2 = AH \cdot 18 \)

\( 9 \cdot 35 = AH \cdot 18 \)

\( 315 = AH \cdot 18 \)

\( AH = \frac{315}{18} = \frac{35}{2} = 17.5 \)

Ответ: АН = 17.5