5. В треугольниках ABC и MKP ∠A=∠M=90°, AB=MP, BC=KP. Докажите, что KM=1/2 KP.

1. Треугольники ABC и MKP являются прямоугольными.
2. По условию AB=MP и BC=KP.
3. По теореме Пифагора в ΔABC: AC² = BC² - AB². В ΔMKP: MK² = KP² - MP².
4. Так как AB=MP и BC=KP, то AC² = KP² - MP² = MK². Следовательно, AC = MK.
5. Так как AB=MP, BC=KP, AC=MK, то треугольники ABC и MPK равны по трем сторонам. Следовательно, ∠B = ∠P.
6. В прямоугольном треугольнике MKP, катет MK лежит напротив угла ∠P. Если ∠P = 30°, то MK = 1/2 KP.