5. В прямоугольном треугольнике АВС ∠C=90°, АС=8 см, ∠ABC=45°. Найдите: а)АВ; б) высоту CD, проведенную к гипотенузе.

Задание 5. Прямоугольный треугольник

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC.
• \( ∠ C = 90^° \).
• \( AC = 8 \) см.
• \( ∠ ABC = 45^° \).

Найти:

а) Гипотенузу \( AB \).

б) Высоту \( CD \), проведенную к гипотенузе.

Решение:

а) Нахождение гипотенузы AB:

1. В прямоугольном треугольнике ABC сумма углов равна \( 180^° \). \( ∠ BAC = 180^° - 90^° - 45^° = 45^° \).
2. Так как \( ∠ BAC = ∠ ABC = 45^° \), то треугольник ABC является равнобедренным с катетами \( AC = BC \).
3. Следовательно, \( BC = AC = 8 \) см.
4. По теореме Пифагора найдём гипотенузу \( AB \): \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
5. \( AB^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128 \)
6. \( AB = √{128} = √{64 \times 2} = 8√{2} \) см.

б) Нахождение высоты CD:

1. Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BC \] и \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times CD \].
2. Вычислим площадь, используя катеты: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32 \] см².
3. Теперь приравняем площади и найдём высоту \( CD \): \[ \frac{1}{2} \times AB \times CD = 32 \]
4. \( \frac{1}{2} \times 8√{2} \times CD = 32 \)
5. \( 4√{2} \times CD = 32 \)
6. \( CD = \frac{32}{4√{2}} = \frac{8}{√{2}} \)
7. Рационализируем знаменатель: \[ CD = \(\frac{8 \times √{2}}{√{2} \times √{2}}\) = \(\frac{8√{2}}{2}\) = 4√{2} \) см.

Ответ:

а) Гипотенуза AB равна \( 8√{2} \) см.

б) Высота CD равна \( 4√{2} \) см.