5. Укажите число, являющееся корнем уравнения log5(-1-3x) = 2 log5 4-log5 2

Решение:

Данное уравнение:

\[ \log_5(-1-3x) = 2 \log_5 4 - \log_5 2 \]

Сначала преобразуем правую часть уравнения:

\[ 2 \log_5 4 - \log_5 2 = \log_5 4^2 - \log_5 2 = \log_5 16 - \log_5 2 \]

Используем свойство логарифмов \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \):

\[ \log_5 16 - \log_5 2 = \log_5 \frac{16}{2} = \log_5 8 \]

Теперь уравнение выглядит так:

\[ \log_5(-1-3x) = \log_5 8 \]

Поскольку основания логарифмов равны, приравниваем аргументы:

\[ -1 - 3x = 8 \]

Решаем линейное уравнение:

\[ -3x = 8 + 1 \]\[ -3x = 9 \]\[ x = \frac{9}{-3} \]\[ x = -3 \]

Необходимо проверить область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть больше нуля:

\[ -1 - 3x > 0 \]\[ -3x > 1 \]\[ x < -\frac{1}{3} \]

Полученное значение \( x = -3 \) удовлетворяет ОДЗ, так как \( -3 < -\frac{1}{3} \).

Ответ: -3