5. У волшебника есть четыре волшебные шляпы: красная шляпа превращает один шарик в одну лягушку; синяя шляпа превращает один шарик в одного кролика; зелёная шляпа превращает одного кролика в три шарика; жёлтая шляпа превращает одну лягушку в шесть шариков. Шляпой можно воспользоваться, только если у волшебника есть то, что эта шляпа должна превратить. Сначала у волшебника был один шарик. Он выполнил ровно 26 превращений, после чего у него оказалось 48 шариков и не осталось ни лягушек, ни кроликов. Сколько раз волшебник воспользовался красной шляпой?

Обозначим количество использований красной, синей, зелёной и жёлтой шляп соответственно через \(r\), \(s\), \(g\), \(y\).

1. Каждая лягушка появляется после использования красной шляпы и исчезает после использования жёлтой. Поэтому \(r=y\).
2. Каждый кролик появляется после использования синей шляпы и исчезает после использования зелёной. Поэтому \(s=g\).
3. Всего выполнено 26 превращений:
   \[r+s+g+y=26.\]
   С учётом равенств \(r=y\) и \(s=g\):
   \[2y+2g=26,\quad y+g=13.\]
4. Число шариков увеличилось с 1 до 48, то есть на 47. Красная и синяя шляпы уменьшают число шариков на 1, а зелёная и жёлтая увеличивают его соответственно на 2 и 5. Поэтому:
   \[-r-s+2g+5y=47.\]
   Подставим \(r=y\) и \(s=g\):
   \[-y-g+2g+5y=47,\quad g+4y=47.\]
5. Решим систему:
   \[\begin{cases}y+g=13,\\g+4y=47.\end{cases}\]
   Вычтем первое уравнение из второго:
   \[3y=34?\]

Уточним подсчёт изменения числа шариков: зелёная шляпа превращает одного кролика в три шарика, поэтому прирост составляет 3 шарика после исчезновения кролика, а жёлтая — 6 шариков после исчезновения лягушки. Тогда общее изменение числа шариков:

\[-r-s+3g+6y=47.\]

Подставим \(r=y\), \(s=g\):

\[-y-g+3g+6y=47,\quad 5y+2g=47.\]

Получаем систему:

\[\begin{cases}y+g=13,\\5y+2g=47.\end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 2:

\[2y+2g=26.\]

Вычтем его из второго уравнения:

\[3y=21,\quad y=7.\]

Так как \(r=y\), то \(r=7\).

Ответ: 7 раз.