5. Трапеция АВСД вписана в окружность, угол А равен 60°, угол АВД равен 90°, СД=4 см. Найдите радиус окружности.

Решение:

1. Свойства вписанной трапеции:
   Если трапеция вписана в окружность, то она является равнобедренной. Следовательно, АВ = СД и ВС = АD. Углы при основании равны.
2. Нахождение углов трапеции:
   По условию, угол А = 60°. Так как трапеция равнобедренная, угол D = угол А = 60°. Углы при другом основании равны:
   Угол B = Угол C = 180° - 60° = 120°.
3. Угол АВД:
   По условию, угол АВД = 90°. Это означает, что отрезок АD является диаметром окружности (так как опирается на вписанный прямой угол).
4. Нахождение стороны АD:
   Рассмотрим прямоугольный треугольник АВД (угол АВД = 90°).
   Мы знаем угол А = 60° и сторону, противолежащую углу АВД (это АD, которая является гипотенузой).
   В прямоугольном треугольнике, синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
   \[ \sin(60°) = \frac{BD}{AD} \]
   Косинус угла:
   \[ \cos(60°) = \frac{AB}{AD} \]
   Также, мы знаем, что в равнобедренной трапеции АВ = СД = 4 см.
5. Вычисление АD:
   Подставим известное значение АВ в формулу косинуса:
   \[ \cos(60°) = \frac{4}{AD} \]
   \[ \frac{1}{2} = \frac{4}{AD} \]
   \[ AD = 4 \cdot 2 = 8 \]
6. Нахождение радиуса:
   Поскольку AD является диаметром окружности, радиус (R) равен половине диаметра.
   \[ R = \frac{AD}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

Ответ: Радиус окружности равен 4 см.