5. Сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда равна 1248 дм. Найдите измерения параллелепипеда, если известно, что ширина параллелепипеда втрое меньше его длины, а длина — на 74 дм меньше высоты.

Задание 5. Измерения прямоугольного параллелепипеда

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда:

• Длина — $$a$$
• Ширина — $$b$$
• Высота — $$c$$

Из условия задачи знаем:

1. Сумма длин всех ребер равна 1248 дм.
2. Ширина втрое меньше длины: $$b = \frac{a}{3}$$.
3. Длина на 74 дм меньше высоты: $$a = c - 74$$, откуда $$c = a + 74$$.

1. Формула суммы длин ребер:

У прямоугольного параллелепипеда 12 ребер: 4 длины, 4 ширины и 4 высоты. Поэтому сумма длин всех ребер равна $$4a + 4b + 4c$$.

По условию: $$4a + 4b + 4c = 1248$$ дм.

Разделим обе части уравнения на 4:

$$a + b + c = \frac{1248}{4} = 312$$ дм.

2. Подставим известные соотношения в уравнение:

Заменим $$b$$ и $$c$$ через $$a$$:

$$a + \frac{a}{3} + (a + 74) = 312$$

3. Решим уравнение относительно $$a$$:

Сгруппируем члены с $$a$$:

$$a + \frac{a}{3} + a + 74 = 312$$

$$2a + \frac{a}{3} = 312 - 74$$

$$2a + \frac{a}{3} = 238$$

Приведем к общему знаменателю (3):

$$\frac{6a}{3} + \frac{a}{3} = 238$$

$$\frac{7a}{3} = 238$$

Найдем $$a$$:

$$7a = 238 \cdot 3$$

$$7a = 714$$

$$a = \frac{714}{7} = 102$$ дм.

4. Найдем $$b$$ и $$c$$:

Ширина $$b = \frac{a}{3} = \frac{102}{3} = 34$$ дм.

Высота $$c = a + 74 = 102 + 74 = 176$$ дм.

5. Проверка:

Сумма длин ребер = $$4(102) + 4(34) + 4(176) = 408 + 136 + 704 = 1248$$ дм. Условие выполняется.

Ответ: Длина — 102 дм, ширина — 34 дм, высота — 176 дм.