5. Стороны четырёхугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, величины которых равны соответственно 63°, 62°, 90° и 145°. Найдите угол В этого четырёхугольника.

Решение:

Четырёхугольник \( ABCD \) вписан в окружность. Сумма противоположных углов четырёхугольника равна \( 180^{\circ} \).

Стороны \( AB, BC, CD, AD \) стягивают дуги, градусные меры которых равны \( 63^{\circ}, 62^{\circ}, 90^{\circ}, 145^{\circ} \) соответственно.

Угол \( \angle B \) вписан и опирается на дугу, стягиваемую сторонами \( AD \) и \( CD \) (т.е. дуга \( ADC \)).

Дуга \( ADC = \text{дуга } AD + \text{дуга } CD = 145^{\circ} + 90^{\circ} = 235^{\circ} \).

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

\( \angle B = \frac{\text{дуга } ADC}{2} = \frac{235^{\circ}}{2} = 117.5^{\circ} \).

Угол \( \angle D \) вписан и опирается на дугу, стягиваемую сторонами \( AB \) и \( BC \) (т.е. дуга \( ABC \)).

Дуга \( ABC = \text{дуга } AB + \text{дуга } BC = 63^{\circ} + 62^{\circ} = 125^{\circ} \).

\( \angle D = \frac{\text{дуга } ABC}{2} = \frac{125^{\circ}}{2} = 62.5^{\circ} \).

Проверка: \( \angle B + \angle D = 117.5^{\circ} + 62.5^{\circ} = 180^{\circ} \). Это верно.

Угол \( \angle A \) опирается на дугу \( BCD \).

Дуга \( BCD = \text{дуга } BC + \text{дуга } CD = 62^{\circ} + 90^{\circ} = 152^{\circ} \).

\( \angle A = \frac{152^{\circ}}{2} = 76^{\circ} \).

Угол \( \angle C \) опирается на дугу \( DAB \).

Дуга \( DAB = \text{дуга } AD + \text{дуга } AB = 145^{\circ} + 63^{\circ} = 208^{\circ} \).

\( \angle C = \frac{208^{\circ}}{2} = 104^{\circ} \).

Проверка: \( \angle A + \angle C = 76^{\circ} + 104^{\circ} = 180^{\circ} \). Это верно.

Нас просят найти угол \( B \).

Ответ: 117.5°.